代数的位相幾何の問題

1. 平面から有限個の点を除いた空間のオイラー標数

$\mathbb{C}$ から相異なる $m$ 点を除いた空間は $m$ 個の円周のブーケ ${\bigvee }_m{S}^1$ にホモトピー同値である。よって $H_0\cong \mathbb{Q}$、$H_1\cong {\mathbb{Q}}^m$、それ以外は $0$ であり、
$$\chi (\mathbb{C}\setminus \{m\text{ 点}\})=1-m.$$
特に $\chi (X)=1-2=-1$ である。

2. ファデル・ノイヴィルトのファイバー束

$M$ を境界のない多様体とするとき、最後の点を忘れる射影
$$p:F_k(M)\to F_{k-1}(M),(z_1,\dots ,z_k)\mapsto (z_1,\dots ,z_{k-1})$$
は局所自明なファイバー束であり（ファデル・ノイヴィルトの定理）、点 $(z_1,\dots ,z_{k-1})$ 上のファイバーは $M\setminus \{z_1,\dots ,z_{k-1}\}$ である。

$M=X$ は $\mathbb{C}$ から $2$ 点を除いた空間なので、ファイバー $X\setminus \{z_1,\dots ,z_{k-1}\}$ は $\mathbb{C}$ から $2+(k-1)=k+1$ 点を除いた空間で、
$$\chi (\text{ファイバー})=1-(k+1)=-k.$$

3. オイラー標数の乗法性

底空間が弧状連結で、底空間・ファイバーの有理ホモロジーが有限次元であるファイバー束 $F\to E\to B$ に対しては、セールのスペクトル系列（体係数では局所系があってもオイラー標数はスペクトル系列の各ページで不変）により
$$\chi (E)=\chi (B)\chi (F)$$
が成り立つ。$F_{k-1}(X)$ は ${\mathbb{C}}^{k-1}$ から複素超平面を有限個除いた空間なので弧状連結であり、帰納的に有理ホモロジーは有限次元である。したがって
$$\chi (F_k(X))=\chi (F_{k-1}(X))\cdot (-k).$$

4. 計算

$\chi (F_1(X))=\chi (X)=-1$ から始めて
$$\chi (F_2(X))=(-1)(-2)=2,\chi (F_3(X))=2\cdot (-3)=-6,\chi (F_4(X))=(-6)\cdot (-4)=24.$$

（検算：一般に $\chi (F_k(X))=\chi (X)(\chi (X)-1)\cdots (\chi (X)-k+1)$ であり、$\chi (X)=-1$, $k=4$ を代入すると $(-1)(-2)(-3)(-4)=24$ となって一致する。）

よって $\chi (F_4(X))=24$。

$F_4(X)$ を、最初の $k$ 個の座標への射影による写像の列として積み上げる。$F_k(X)\to F_{k-1}(X)$ は局所自明なファイバー束で、ファイバーは $\mathbb{C}$ から $2+(k-1)$ 点を除いた空間である。これは $1+(k+1)$ 個の円周のウェッジとホモトピー同値なので、オイラー標数は $1-(k+1)=-k$ となる。

• $F_1(X)=X$ のオイラー標数は $1-2=-1$。
• $k=2$ のファイバーは $\mathbb{C}$ から $3$ 点を除いた空間で、オイラー標数は $-2$。
• $k=3$ のファイバーは $\mathbb{C}$ から $4$ 点を除いた空間で、オイラー標数は $-3$。
• $k=4$ のファイバーは $\mathbb{C}$ から $5$ 点を除いた空間で、オイラー標数は $-4$。

ファイバー束ではオイラー標数は積になる。ここでは各ファイバーが有限型で、積の公式が使える。したがって
$$\chi (F_4(X))=(-1)(-2)(-3)(-4)=24.$$

検算: ポアンカレ多項式は $(1+2t)(1+3t)(1+4t)(1+5t)$ である。これは $F_6(\mathbb{C})$ から $F_2(\mathbb{C})$ へのファイバー束のファイバーに対応する。$t=-1$ を代入すると $(-1)(-2)(-3)(-4)=24$ で一致する。