トーラス自己同型の周期点

整数行列 $A$ （ $det A = \pm 1$ 、固有値の絶対値が $1$ でない）による $T^{2}$ の写像について、 $∣ Fix (f^{n}) ∣ = ∣ det (A^{n} - I) ∣$ を固有値やトレース（ $det (A^{n} - I) = det A^{n} - tr A^{n} + 1$ ）で計算できる（例: $A = (2111)$ で $n = 1, 2, 3, 4$ に対し $1, 5, 16, 45$ ）

前提

周期点の個数とメビウス反転（大学院数学力学系・エルゴード理論）
対角化と行列の累乗（大学数学線形代数）

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算数中学高校大学大学院

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掃き出し法による逆行列（大学数学線形代数）
基底の変換と表現行列（大学数学線形代数）
対角化と行列の累乗（大学数学線形代数）

説明

2 次の整数行列 $A$ で $det A = \pm 1$ のものは、2 次元トーラス $T^{2} = R^{2} / Z^{2}$ 上の可逆な写像 $f (x) = A x mod Z^{2}$ を定めます。 $A$ の固有値の絶対値がどれも $1$ でないとき（双曲型のとき）、 $f^{n}$ の不動点の個数は $F_{n} = ∣ Fix (f^{n}) ∣ = ∣ det (A^{n} - I) ∣$ という一つの式で求まり、これをトレースや固有値だけで計算できるようになります。得られた $F_{n}$ にメビウス反転を施せば、最小周期 $n$ の周期点や周期軌道の個数もわかります。

なぜそうしてよいのか

$f^{n} (x) = A^{n} x mod Z^{2}$ なので、 $x \in R^{2}$ が $f^{n}$ の不動点を表すことは $A^{n} x - x \in Z^{2}$ 、つまり $B = A^{n} - I$ とおいて $B x \in Z^{2}$ となることです。 $A^{n}$ の固有値は $λ^{n}, μ^{n}$ で、絶対値が $1$ でないので $1$ ではありません。よって $det B = (λ^{n} - 1) (μ^{n} - 1) \neq = 0$ で $B$ は可逆です。トーラスの各点は単位正方形 $S = [0, 1)^{2}$ の点でちょうど 1 回ずつ代表されるので、不動点の個数は「 $x \in S$ かつ $B x \in Z^{2}$ 」をみたす $x$ の個数です。 $B$ は可逆なので $x \mapsto B x$ でこれを書き直すと、平行四辺形 $D = B (S)$ （面積 $∣ det B ∣$ ）に入る整数点の個数 $K = ∣ Z^{2} \cap D ∣$ を数えればよいことになります。

$K = ∣ det B ∣$ を密度の議論で示します。 $S$ を整数ベクトル $m$ だけずらした $S + m$ は平面をすき間も重なりもなく敷き詰めるので、その $B$ による像 $D + B m$ （ $m \in Z^{2}$ ）も平面をすき間も重なりもなく敷き詰めます。 $B m$ は整数ベクトルなので、平行移動で整数点は整数点に移り、どのコピー $D + B m$ にもちょうど $K$ 個の整数点が入ります。 $D$ の直径を $δ$ とし、大きな正方形 $Q_{N} = [0, N)^{2}$ を考えます。 $Q_{N}$ には整数点がちょうど $N^{2}$ 個あります。(i) $Q_{N}$ と交わるコピーはすべて $[- δ, N + δ)^{2}$ に含まれ、互いに重ならず面積が $∣ det B ∣$ ずつなので、その個数は $(N + 2 δ)^{2} /∣ det B ∣$ 以下です。 $Q_{N}$ の整数点はどれもこれらのコピーのどれかに入るので $N^{2} \leq K (N + 2 δ)^{2} /∣ det B ∣$ 。(ii) 内側の正方形 $[δ, N - δ)^{2}$ と交わるコピーは $Q_{N}$ に完全に含まれ、それらで内側の正方形が覆われるので、その個数は $(N - 2 δ)^{2} /∣ det B ∣$ 以上です。それらに入る整数点はすべて $Q_{N}$ の中にあり重複しないので $K (N - 2 δ)^{2} /∣ det B ∣ \leq N^{2}$ 。両方を $N^{2}$ で割って $N \to \infty$ とすると $K = ∣ det B ∣$ が得られます。こうして $F_{n} = ∣ det (A^{n} - I) ∣$ です。

この行列式は 2 次行列なら簡単に計算できます。 $M = (a c b d)$ に対し $det (M - I) = (a - 1) (d - 1) - b c = det M - tr M + 1$ なので、 $det (A^{n} - I) = (det A)^{n} - tr (A^{n}) + 1$ 。固有値で書けば $det (A^{n} - I) = (λ^{n} - 1) (μ^{n} - 1)$ 、 $tr (A^{n}) = λ^{n} + μ^{n}$ です。さらに $λ, μ$ は $t^{2} - (tr A) t + det A = 0$ の解なので $λ^{n + 1} = (tr A) λ^{n} - (det A) λ^{n - 1}$ （ $μ$ も同様）となり、足し合わせると $t_{n} = tr (A^{n})$ は漸化式 $t_{n + 1} = (tr A) t_{n} - (det A) t_{n - 1}$ 、 $t_{0} = 2$ , $t_{1} = tr A$ をみたします。 $A^{n}$ を毎回計算しなくても $t_{n}$ が求まります。

手順

$tr A$ と $det A$ を求め、 $det A = \pm 1$ であり固有値（ $t^{2} - (tr A) t + det A = 0$ の解）の絶対値が $1$ でないことを確かめる
$t_{n} = tr (A^{n})$ を漸化式 $t_{n + 1} = (tr A) t_{n} - (det A) t_{n - 1}$ （ $t_{0} = 2$ , $t_{1} = tr A$ ）か、 $t_{n} = λ^{n} + μ^{n}$ で計算する
$det (A^{n} - I) = (det A)^{n} - t_{n} + 1$ を計算する
絶対値をとって $F_{n} = ∣ Fix (f^{n}) ∣ = ∣ (det A)^{n} - t_{n} + 1∣$ とする
（最小周期の個数が必要なら） $P_{n} = \sum_{k ∣ n} μ (n / k) F_{k}$ を計算する

例題

$A = (3211)$ が定めるトーラス $T^{2} = R^{2} / Z^{2}$ 上の写像 $f (x) = A x mod Z^{2}$ について、 $f^{3}$ の不動点の個数 $∣ Fix (f^{3}) ∣$ を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $tr A = 4$ , $det A = 3 \cdot 1 - 1 \cdot 2 = 1$ 。固有値は $t^{2} - 4 t + 1 = 0$ の解 $2 \pm 3$ で、 $2 + 3 > 1$ , $0 < 2 - 3 < 1$ だからどちらも絶対値が $1$ でない。よって $F_{n} = ∣ det (A^{n} - I) ∣$ が使える。

【手順 2】 $t_{0} = 2$ , $t_{1} = 4$ と漸化式 $t_{n + 1} = 4 t_{n} - t_{n - 1}$ より
$t_{2} = 4 \cdot 4 - 2 = 14$ , $t_{3} = 4 \cdot 14 - 4 = 52$ 。
（確認: $(2 + 3)^{3} + (2 - 3)^{3} = 2 (8 + 3 \cdot 2 \cdot 3) = 52$ 。）

【手順 3】 $det (A^{3} - I) = (det A)^{3} - t_{3} + 1 = 1 - 52 + 1 = - 50$ 。

【手順 4】絶対値をとって $∣ Fix (f^{3}) ∣ = 50$ 。

答え: $50$

よくある誤り

絶対値を付け忘れる誤り。 $det A = 1$ で $tr A > 2$ のとき $det (A^{n} - I) = 2 - tr (A^{n}) < 0$ になるので、例題で $- 50$ 個とするのは誤り。正しくは $F_{3} = ∣ - 50∣ = 50$ 。
$tr (A^{n})$ を $(tr A)^{n}$ としてしまう誤り。例題で $t_{3} = 4^{3} = 64$ とすると $F_{3} = 62$ となり誤り。正しくは $t_{3} = λ^{3} + μ^{3} = 52$ で、漸化式 $t_{n + 1} = (tr A) t_{n} - (det A) t_{n - 1}$ を使う。
$det A = - 1$ のときに $(det A)^{n}$ を $1$ としてしまう誤り。 $A = (1110)$ では $(det A)^{n} = (- 1)^{n}$ で、 $t_{3} = 4$ より $F_{3} = ∣ (- 1)^{3} - 4 + 1∣ = 4$ （ $1 - 4 + 1$ として $2$ とするのは誤り）。漸化式も $t_{n + 1} = t_{n} + t_{n - 1}$ と符号が変わる。
$F_{n}$ をそのまま最小周期 $n$ の周期点の個数としてしまう誤り。 $F_{n}$ には周期が $n$ の約数の点も含まれる。例題の $A$ なら $F_{1} = ∣1 - 4 + 1∣ = 2$ なので、最小周期 $3$ の点は $P_{3} = F_{3} - F_{1} = 48$ 個（軌道は $16$ 本）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$T^{2} = R^{2} / Z^{2}$ とし、整数行列
$A = (3211)$
が定めるトーラス自己同型 $f_{A} : T^{2} \to T^{2}$ , $f_{A} (x) = A x mod Z^{2}$ を考える。 $f_{A}^{2}$ の不動点の個数 $∣ Fix (f_{A}^{2}) ∣$ を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

レフシェッツ数と不動点（大学院数学代数的位相幾何）