力学系・エルゴード理論の問題

2 次元トーラス ${\mathbb{T}}^2={\mathbb{R}}^2/{\mathbb{Z}}^2$ 上の写像 $f:{\mathbb{T}}^2\to {\mathbb{T}}^2$ を、行列
$$A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 1\end{array}\right)$$
により $f(x+{\mathbb{Z}}^2)=Ax+{\mathbb{Z}}^2$（$x\in {\mathbb{R}}^2$ は列ベクトル）で定める。点 $p\in {\mathbb{T}}^2$ が最小周期 $n$（$n$ は正の整数）をもつとは、$f^n(p)=p$ であり、かつ $1\le k<n$ を満たすどの整数 $k$ についても $f^k(p)\ne p$ であることとする。最小周期がちょうど $4$ である ${\mathbb{T}}^2$ の点の個数を求めよ。

3 次元トーラス ${\mathbb{T}}^3={\mathbb{R}}^3/{\mathbb{Z}}^3$ 上の写像 $f:{\mathbb{T}}^3\to {\mathbb{T}}^3$ を、行列
$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& -1\end{array}\right)$$
を用いて $f(\mathbf{x}+{\mathbb{Z}}^3)=A\mathbf{x}+{\mathbb{Z}}^3$ で定める。正の整数 $n$ に対し $f^n$ を $f$ の $n$ 回合成とする。点 $p\in {\mathbb{T}}^3$ が $f^6(p)=p$ をみたし、かつ $1\le k\le 5$ のどの整数 $k$ に対しても $f^k(p)\ne p$ であるとき、$p$ を最小周期 $6$ の周期点という。最小周期 $6$ の周期点がなす $f$ の軌道 $\{p,f(p),\dots ,f^5(p)\}$ の個数を求めよ。

3 次元トーラス ${\mathbb{T}}^3={\mathbb{R}}^3/{\mathbb{Z}}^3$ 上の写像 $f:{\mathbb{T}}^3\to {\mathbb{T}}^3$ を、行列
$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)$$
を用いて $f(\mathbf{x}\mathrm{mod}{\mathbb{Z}}^3)=A\mathbf{x}\mathrm{mod}{\mathbb{Z}}^3$ で定める。点 $p\in {\mathbb{T}}^3$ の最小周期とは、$f^n(p)=p$ をみたす最小の正の整数 $n$ のことである。$1\le n\le 8$ をみたす整数 $n$ のうち、最小周期がちょうど $n$ である点が ${\mathbb{T}}^3$ 上に存在するようなものをすべて求めよ。

2 次元トーラス ${\mathbb{T}}^2={\mathbb{R}}^2/{\mathbb{Z}}^2$ 上の写像 $f:{\mathbb{T}}^2\to {\mathbb{T}}^2$ を、行列 $$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$$ により $f(\mathbf{x}\mathrm{mod}{\mathbb{Z}}^2)=A\mathbf{x}\mathrm{mod}{\mathbb{Z}}^2$（$\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^2$ は列ベクトル）で定める。正の整数 $n$ に対し $f^n$ を $f$ の $n$ 回合成とする。点 $p\in {\mathbb{T}}^2$ が $f^{10}(p)=p$ を満たし、かつ $1\le m<10$ を満たすどの整数 $m$ についても $f^m(p)\ne p$ であるとき、$p$ を最小周期 $10$ の周期点という。最小周期 $10$ の周期点の個数を求めよ。

区間 $[0,1]$ 上のテント写像 $T:[0,1]\to [0,1]$ を
$$T(x)=\{\begin{array}{ll}2x& \left(0\le x\le \frac{1}{2}\right)\\ 2-2x& \left(\frac{1}{2}<x\le 1\right)\end{array}$$
で定める。点 $x\in [0,1]$ が $T^6(x)=x$ を満たし、かつ $1\le k\le 5$ のどの整数 $k$ についても $T^k(x)\ne x$ であるとき、$x$ を $T$ の最小周期 $6$ の周期点という。ここで $T^k$ は $T$ の $k$ 回合成である。

$T$ の最小周期 $6$ の周期点の個数を求めよ。