力学系・エルゴード理論の問題

1. 基本事項. $\det A=1\cdot (0\cdot (-1)-1\cdot 1)-1\cdot (1\cdot (-1)-1\cdot 1)+0=-1+2=1$ より $A\in GL(3,\mathbb{Z})$ である。よって $f$ は ${\mathbb{T}}^3$ の自己同型として定まる。

$f^n(p)=p$ は、$p=\mathbf{x}+{\mathbb{Z}}^3$ と書くと $(A^n-I)\mathbf{x}\in {\mathbb{Z}}^3$ と同値である。整数行列 $B=A^n-I$ が $\det B\ne 0$ をみたすとき、$B$ が誘導する ${\mathbb{T}}^3$ の準同型の核の位数は $|\det B|$ に等しい。実際、単因子標準形 $B=PDQ$（$P,Q\in GL(3,\mathbb{Z})$、$D=\mathrm{diag}(d_1,d_2,d_3)$）をとると、核は $\prod d_i=|\det B|$ 個の点からなる。したがって
$$N_n:=\#\mathrm{Fix}(f^n)=|\det (A^n-I)|$$
である（ただし $\det (A^n-I)\ne 0$ のとき）。

2. 固有多項式.
$$\det (xI-A)=(x-1)\{x(x+1)-1\}-(x+2)=x^3-3x-1=:q(x).$$
$x=2\cos \theta$ とおくと $q(x)=2\cos 3\theta -1$ となる。よって固有値は ${\mu }_1,{\mu }_2,{\mu }_3=2\cos \frac{\pi }{9},2\cos \frac{5\pi }{9},2\cos \frac{7\pi }{9}$（約 $1.879,-0.347,-1.532$）である。いずれも絶対値 $1$ でない実数なので、${\mu }_i^n\ne 1$ となり、すべての $n$ で $\det (A^n-I)\ne 0$ である。

3. $N_1,N_2,N_3,N_6$ の計算. $\det (A^n-I)={\prod }_i({\mu }_i^n-1)$ である。$\zeta$ が 1 の $n$ 乗根であるとき ${\prod }_i({\mu }_i-\zeta )=-q(\zeta )$ となるので、絶対値で
$$N_n=\prod _{{\zeta }^n=1}|q(\zeta )|$$
が成り立つ。$\omega =e^{2\pi i/3}$ とし、${\omega }^3=1$、$\omega +\bar{\omega }=-1$、$\omega \bar{\omega }=1$ を用いると、
- $q(1)=1-3-1=-3$
- $q(-1)=-1+3-1=1$
- $q(\omega )=1-3\omega -1=-3\omega$ より $|q(\omega ){|}^2=9$
- $q(-\omega )=-1+3\omega -1=3\omega -2$ より $|q(-\omega ){|}^2=9-6(\omega +\bar{\omega })+4=19$

1 の 6 乗根は $\pm 1,\pm \omega ,\pm \bar{\omega }$ である。したがって
$$N_1=3,N_2=3\cdot 1=3,N_3=3\cdot 9=27,N_6=3\cdot 1\cdot 9\cdot 19=513.$$

4. 最小周期 6 の点. 周期が 6 を割り切るが最小周期が 6 でない点は、$\mathrm{Fix}(f^2)\cup \mathrm{Fix}(f^3)$ に属する点である（$\mathrm{Fix}(f^2)\cap \mathrm{Fix}(f^3)=\mathrm{Fix}(f)$）。よって最小周期 $6$ の点の個数は
$$N_6-(N_2+N_3-N_1)=513-(3+27-3)=486.$$
これはメビウスの反転公式 $N_6-N_3-N_2+N_1$ と一致する。

5. 軌道の個数. 最小周期 6 の点の軌道は、ちょうど 6 個の相異なる点からなる。よって軌道の個数は $486÷6=81$ である。

$f^n$ の不動点の個数は $|\det (A^n-I)|$ である（$A^n-I$ が正則のとき）。

$A$ の固有多項式は、$\mathrm{tr}A=0$、2 次の主小行列式の和が $-3$、$\det A=1$ より ${\lambda }^3-3\lambda -1$ である。根は $2\cos (\pi /9),2\cos (5\pi /9),2\cos (7\pi /9)$ で、1 の冪根ではない。よって $A^n-I$ はすべての $n\ge 1$ で正則である。

$\det A=1$ なので、$\det (A^n-I)=\prod ({\lambda }_i^n-1)=1-e_2^{\prime }+e_1^{\prime }-1=p_n-p_{-n}$ となる。ここで $p_k=\sum {\lambda }_i^k$ とおいた。

• $p_k$ の漸化式は $p_k=3p_{k-2}+p_{k-3}$ で、$p_0=3,p_1=0,p_2=6$。これより $p_3=3,p_4=18,p_5=15,p_6=57$。
• $p_{-k}$ の漸化式は、$1/\lambda$ が ${\mu }^3+3{\mu }^2-1=0$ を満たすことから $q_k=-3q_{k-1}+q_{k-3}$。$q_0=3,q_1=-3,q_2=9$ から $q_3=-24,q_4=69,q_5=-198,q_6=570$。

不動点数を $N_n=|p_n-p_{-n}|$ とおくと、
- $N_1=|0+3|=3$
- $N_2=|6-9|=3$
- $N_3=|3+24|=27$
- $N_6=|57-570|=513$

($N_1=|\det (A-I)|=|1-3-1|=3$ とも一致する。)

最小周期がちょうど 6 の点の個数は、メビウス反転より $N_6-N_3-N_2+N_1=513-27-3+3=486$。

1 つの軌道には 6 点が含まれるので、軌道の個数は $486/6=81$。