力学系・エルゴード理論の問題

不動点の個数の公式. $\det A=-1$ なので $A\in G{L}_2(\mathbb{Z})$ であり、$f$ は ${\mathbb{T}}^2$ の同相写像である。$A$ の固有値は $\lambda =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$, $\mu =\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ で、$|\lambda |>1>|\mu |$。したがってどの $n\ge 1$ でも $A^n$ は固有値 $1$ をもたず、$B=A^n-I$ は整数行列で $\det B\ne 0$ となる。

$f^n(p)=p$ は、$p=\mathbf{x}\mathrm{mod}{\mathbb{Z}}^2$ として $B\mathbf{x}\in {\mathbb{Z}}^2$ と同値である。よって $f^n$ の不動点は $B^{-1}{\mathbb{Z}}^2/{\mathbb{Z}}^2$ の元と 1 対 1 に対応し、その個数は格子の指数 $[B^{-1}{\mathbb{Z}}^2:{\mathbb{Z}}^2]=[{\mathbb{Z}}^2:B{\mathbb{Z}}^2]=|\det B|$ である（スミス標準形で $B$ を対角化すれば分かる）。

ゆえに $N_n=\#\mathrm{Fix}(f^n)=|\det (A^n-I)|$。$2\times 2$ 行列では $\det (M-I)=\det M-\mathrm{tr}M+1$ なので
$$\det (A^n-I)=(-1{)}^n-L_n+1,L_n=\mathrm{tr}{A}^n={\lambda }^n+{\mu }^n.$$
$L_n$ はリュカ数（$L_1=1,L_2=3,L_{n+2}=L_{n+1}+L_n$）で、$L_1,\dots ,L_{10}=1,3,4,7,11,18,29,47,76,123$。
- $n$ が偶数: $N_n=|2-L_n|=L_n-2$
- $n$ が奇数: $N_n=|-L_n|=L_n$

よって $N_1=1,N_2=1,N_5=11,N_{10}=121$。

（確認: $A^{10}=\left(\begin{array}{cc}89& 55\\ 55& 34\end{array}\right)$ より $\det (A^{10}-I)=88\cdot 33-55^2=2904-3025=-121$。）

最小周期への分解. $f^{10}(p)=p$ を満たす点の最小周期は $10$ の約数 $1,2,5,10$ のいずれかである。最小周期 $d$ の点の個数を $P_d$ とすると $N_n={\sum }_{d\mid n}{P}_d$ なので、メビウスの反転公式より
$$P_{10}=N_{10}-N_5-N_2+N_1=121-11-1+1=110.$$
（$P_{10}$ は $10$ の倍数であるべきで、$110=10\cdot 11$ より最小周期 $10$ の軌道は $11$ 本あり、整合する。）

答えは $110$。

トーラス自己同型 $f^n$ の不動点の個数は $N(n)=|\det (A^n-I)|$ である。$A$ の固有値は $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ と $-{\phi }^{-1}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ で $\det A=-1$、$\mathrm{tr}{A}^n=L_n$（リュカ数、$L_1=1,L_2=3,L_n=L_{n-1}+L_{n-2}$）。

$\det (A^n-I)=1-\mathrm{tr}{A}^n+\det A^n=1-L_n+(-1{)}^n$。
- $n$ が偶数: $2-L_n$ なので $N(n)=L_n-2$（$L_n\ge 3$）
- $n$ が奇数: $-L_n$ なので $N(n)=L_n$

リュカ数: $L_1=1,L_2=3,L_3=4,L_4=7,L_5=11,L_6=18,L_7=29,L_8=47,L_9=76,L_{10}=123$。

よって $N(1)=1$、$N(2)=3-2=1$、$N(5)=11$、$N(10)=123-2=121$。

最小周期がちょうど $10$ の点の個数は、メビウス反転より
$$\sum _{d\mid 10}\mu \left(\frac{10}{d}\right)N(d)=N(10)-N(5)-N(2)+N(1)=121-11-1+1=110.$$

検算: $N(1)=|\det (A-I)|=\left|\det \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -1\end{array}\right)\right|=1$（不動点は原点のみ）。$A^2=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$ で $\det (A^2-I)=\det \left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=-1$、$N(2)=1$ で一致。周期 $10$ の点は $N(10)=121$ 個のうち、周期が $1,2,5$ の約数になる点を除いたもので、周期が $5$ の約数の点は $N(5)=11$ 個、周期が $2$ の約数の点は $N(2)=1$ 個、その共通部分（周期 $1$）は $1$ 個なので、除かれるのは $11+1-1=11$ 個、$121-11=110$。