力学系・エルゴード理論の問題

1. 周期点の個数の公式. $\det A=1$ より $A\in GL(3,\mathbb{Z})$ であり、$f$ は ${\mathbb{T}}^3$ の自己同型である。$f^n(p)=p$ となる点 $p=\mathbf{x}\mathrm{mod}{\mathbb{Z}}^3$ は $(A^n-I)\mathbf{x}\in {\mathbb{Z}}^3$ をみたす点、すなわち整数行列 $M=A^n-I$ が誘導する準同型 ${\mathbb{T}}^3\to {\mathbb{T}}^3$ の核の元である。$\det M\ne 0$ ならば、単因子標準形 $M=UDV$（$U,V\in GL(3,\mathbb{Z})$, $D=\mathrm{diag}(d_1,d_2,d_3)$）を用いて核は $\mathbb{Z}/d_1\times \mathbb{Z}/d_2\times \mathbb{Z}/d_3$ と同型になり、その元の個数は $|d_1{d}_2{d}_3|=|\det M|$ である。よって $\det (A^n-I)\ne 0$ のとき
$$N_n:=\#\mathrm{Fix}(f^n)=|\det (A^n-I)|.$$

2. 行列式の計算. $A$ の固有多項式は $\chi (x)=x^3-x-1$ である。その根を ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$ とし、$p_n=\sum {\lambda }_i^n$, $q_n=\sum {\lambda }_i^{-n}$ とおく。${\lambda }_1{\lambda }_2{\lambda }_3=1$ より
$$\det (A^n-I)=\prod _i({\lambda }_i^n-1)=1-q_n+p_n-1=p_n-q_n.$$
ここで、$x_i={\lambda }_i^n$ の 2 次の基本対称式が $x_1{x}_2{x}_3\sum 1/x_i=q_n$ となることを使った。

$\lambda$ は ${\lambda }^3=\lambda +1$ をみたすので $p_n=p_{n-2}+p_{n-3}$ であり、$p_0=3,p_1=0,p_2=2$ である。$\mu =1/\lambda$ は ${\mu }^3+{\mu }^2-1=0$ をみたすので $q_n=-q_{n-1}+q_{n-3}$ であり、$q_0=3,q_1=-1,q_2=1$ である。これらから次の表を得る。

いずれも $N_n\ne 0$ なので、1 の公式が使える。いくつか検算しておく。
- $N_4=N_2\cdot \prod ({\lambda }_i^2+1)=1\cdot |\chi (i){|}^2=|-1-2i{|}^2=5$
- $N_6=N_3\cdot |\chi (-1)|\cdot |\chi (e^{i\pi /3}){|}^2=1\cdot 1\cdot {\left|-\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right|}^2=7$

どちらも表と一致する。

3. 最小周期ごとの個数. 最小周期がちょうど $n$ の点の個数を $P_n$ とすると $N_n={\sum }_{d\mid n}{P}_d$ である。メビウスの反転公式により $P_n={\sum }_{d\mid n}\mu (n/d)N_d$ となるので、
- $P_1=1$
- $P_2=N_2-N_1=0$
- $P_3=N_3-N_1=0$
- $P_4=N_4-N_2=4$
- $P_5=N_5-N_1=0$
- $P_6=N_6-N_3-N_2+N_1=7-1-1+1=6$
- $P_7=N_7-N_1=7$
- $P_8=N_8-N_4=0$

したがって最小周期がちょうど $n$ の点が存在するのは $n=1,4,6,7$ のときである（周期軌道はそれぞれちょうど 1 本ずつ）。

$A$ の特性多項式は $\det (xI-A)=x^3-x-1$ で、$\det A=1$ なので $f$ は ${\mathbb{T}}^3$ の自己同型である。$f^n$ の固定点の個数は $N_n=|\det (A^n-I)|$ である。

固有値を ${\lambda }_i$ とすると $\det (A^n-I)=\prod ({\lambda }_i^n-1)=e_3-e_2+e_1-1$（$e_k$ は ${\lambda }_i^n$ の基本対称式）。ここで $e_1=s_n=\mathrm{tr}{A}^n$、$e_3=1$、$e_2=\sum {\lambda }_i^{-n}=t_n$ である。よって $\det (A^n-I)=s_n-t_n$。

$s_n$ は $x^3-x-1$ のべき和で、$s_n=s_{n-2}+s_{n-3}$、$s_1=0,s_2=2,s_3=3$ より $s_1,\dots ,s_8=0,2,3,2,5,5,7,10$。
$t_n$ は $x^3+x^2-1$（逆数の根の多項式）のべき和で、$t_n=-t_{n-1}+t_{n-3}$、$t_1=-1,t_2=1,t_3=2$ より $t_1,\dots ,t_8=-1,1,2,-3,4,-2,-1,5$。

したがって $N_1,\dots ,N_8=1,1,1,5,1,7,8,5$。

最小周期がちょうど $n$ の点の個数 $P_n={\sum }_{d\mid n}\mu (n/d)N_d$:
- $P_1=1$
- $P_2=N_2-N_1=0$
- $P_3=N_3-N_1=0$
- $P_4=N_4-N_2=4$
- $P_5=N_5-N_1=0$
- $P_6=N_6-N_3-N_2+N_1=6$
- $P_7=N_7-N_1=7$
- $P_8=N_8-N_4=0$

検算：$n=4$ の固定点 5 個のうち 1 個は不動点なので周期 4 の点は 4 個、また $P_n$ はすべて非負で、$n=2,3,5,8$ の 0 個とも整合する。

よって $n=1,4,6,7$。