力学系・エルゴード理論の問題

ステップ1: $f$ の共役表示。 $x=\cos \theta$（$0\le \theta \le \pi$）とおくと、3 倍角の公式より
$$f(\cos \theta )=4{\cos }^3\theta -3\cos \theta =\cos 3\theta$$
である。帰納的に $f^n(\cos \theta )=\cos (3^n\theta )$ が成り立つ。また $\theta \mapsto \cos \theta$ は $[0,\pi ]$ から $I$ への全単射である。

ステップ2: $f^n$ の不動点の個数。 $m=3^n$（奇数, $m\ge 3$）とおく。$f^n(x)=x$ は $\cos m\theta =\cos \theta$ と同値であり、これは整数 $k$ を用いて
$$m\theta =\theta +2\pi k\text{または}m\theta =-\theta +2\pi k,$$
すなわち $\theta =\frac{2\pi k}{m-1}$ または $\theta =\frac{2\pi k}{m+1}$ と同値である。

• $\theta =\frac{2\pi k}{m-1}\in [0,\pi ]$ となるのは $k=0,1,\dots ,\frac{m-1}{2}$ の $\frac{m+1}{2}$ 個。
• $\theta =\frac{2\pi k}{m+1}\in [0,\pi ]$ となるのは $k=0,1,\dots ,\frac{m+1}{2}$ の $\frac{m+3}{2}$ 個。

両方に属する $\theta$ は $\frac{k}{m-1}=\frac{j}{m+1}$ をみたすものである。$m$ は奇数なので $\gcd (m-1,m+1)=2$ であり、このとき $\theta =\pi t$（$t$ は整数）の形になるから、$[0,\pi ]$ 内では $\theta =0,\pi$ の 2 個だけである。よって $f^n$ の不動点の個数は
$$F(n)=\frac{m+1}{2}+\frac{m+3}{2}-2=m=3^n.$$
（$f^n(x)-x$ は $3^n$ 次多項式なので、根がすべて $I$ 内にあり重根がないことも分かる。）

ステップ3: 最小周期 $6$ の周期点の個数。 最小周期 $d$ の周期点の個数を $P(d)$ とすると、$F(n)={\sum }_{d\mid n}P(d)$ である。メビウスの反転公式より
$$P(6)=\sum _{d\mid 6}\mu \left(\frac{6}{d}\right)F(d)=F(6)-F(3)-F(2)+F(1)=729-27-9+3=696.$$

ステップ4: 軌道の個数。 最小周期 $6$ の周期軌道はちょうど $6$ 個の相異なる点からなり、異なる軌道は交わらないので、軌道の個数は
$$\frac{696}{6}=116.$$

$x=\cos \theta$ とおくと $f(x)=4{\cos }^3\theta -3\cos \theta =\cos 3\theta$、すなわち $f=T_3$（チェビシェフ多項式）で、$f^n=T_{3^n}$。\n\n$F_n=\#\{x\in [-1,1]:f^n(x)=x\}$ を数える。$m=3^n$ とし、$x=\cos \theta$（$\theta \in [0,\pi ]$ で 1 対 1）とおくと $T_m(x)=x⟺\cos m\theta =\cos \theta ⟺m\theta =\pm \theta +2\pi k$。\n- $\theta =\frac{2\pi k}{m-1}$、$0\le \theta \le \pi$: $k=0,\dots ,\frac{m-1}{2}$ の $\frac{m+1}{2}$ 個\n- $\theta =\frac{2\pi k}{m+1}$、$0\le \theta \le \pi$: $k=0,\dots ,\frac{m+1}{2}$ の $\frac{m+3}{2}$ 個\n両者の共通解は $\theta =0,\pi$ の 2 個のみ（$\gcd \left(\frac{m-1}{2},\frac{m+1}{2}\right)=1$ から）。よって $F_n=\frac{m+1}{2}+\frac{m+3}{2}-2=m=3^n$。（次数 $3^n$ の多項式 $T_m(x)-x$ の根がすべて $[-1,1]$ 内の相異なる実数であることとも一致する。）\n\n$F_1=3,F_2=9,F_3=27,F_6=729$。最小周期がちょうど $6$ の点の個数は、メビウスの反転公式より\n$$P_6=F_6-F_3-F_2+F_1=729-27-9+3=696.$$\n最小周期 $6$ の周期軌道は 6 点からなるので、軌道の個数は $696/6=116$。\n\n検算: $P_1=3$, $P_2=9-3=6$, $P_3=27-3=24$, $P_6=729-(3+6+24)=696$ で一致。$696=6\times 116$ と割り切れる。