力学系・エルゴード理論の問題

ステップ 1: $f^n$ の不動点の個数.
$F^{\prime }(x)=-3+\frac{1}{2}\cos (2\pi x)$ より $-\frac{7}{2}\le F^{\prime }(x)\le -\frac{5}{2}$ である。$F^n$（$F$ の $n$ 回合成）は $f^n$ の持ち上げであり、連鎖律より $(F^n{)}^{\prime }(x)$ は $n$ 個の $F^{\prime }$ の値の積なので
$$(-1{)}^n(F^n{)}^{\prime }(x)\ge {\left(\frac{5}{2}\right)}^n>1.$$
また $F(x+1)=F(x)-3$ を繰り返し使うと $F^n(x+1)=F^n(x)+(-3{)}^n$ である。

$G(x)=F^n(x)-x$ とおくと、$G^{\prime }(x)=(F^n{)}^{\prime }(x)-1$ は $n$ が偶数なら $>0$、奇数なら $<0$ で、$G$ は狭義単調である。さらに
$$G(x+1)=G(x)+(-3{)}^n-1.$$
$p=x\mathrm{mod}1$ が $f^n$ の不動点であることは $G(x)\in \mathbb{Z}$ と同値である。$x$ が $[0,1)$ を動くとき、狭義単調な連続関数 $G$ は長さ $|(-3{)}^n-1|$ の半開区間（端点の一方を含み他方を含まない）を全単射に動くので、その中の整数はちょうど $|(-3{)}^n-1|$ 個である。よって $f^n$ の不動点の個数は
$$N_n=|(-3{)}^n-1|=3^n-(-1{)}^n.$$
具体的には
$$N_1=4,N_2=8,N_3=28,N_6=728.$$

ステップ 2: 最小周期 $6$ の周期点の個数.
$f^6(p)=p$ をみたす点の最小周期は $6$ の約数 $1,2,3,6$ のいずれかである。最小周期 $d$ の周期点の個数を $P_d$ とすると $N_n={\sum }_{d\mid n}{P}_d$ であり、メビウスの反転公式より
$$P_6=\sum _{d\mid 6}\mu \left(\frac{6}{d}\right)N_d=N_6-N_3-N_2+N_1=728-28-8+4=696.$$

ステップ 3: 軌道の個数.
最小周期 $6$ の周期軌道はちょうど $6$ 個の相異なる点からなり、異なる軌道は交わらないので、軌道の個数は
$$\frac{696}{6}=116.$$

$F^{\prime }(x)=-3+\frac{1}{2}\cos (2\pi x)\in [-\frac{7}{2},-\frac{5}{2}]$ なので $F^{\prime }<0$ かつ $|F^{\prime }|>1$（拡大写像）、$f$ は次数 $-3$ の円周写像。

$f^n$ の持ち上げは $F^n$ で、$F^n(x+1)=F^n(x)+(-3{)}^n$、また $(F^n{)}^{\prime }$ は符号が一定（$(-1{)}^n$）で絶対値 $>2.5^n\ge 2.5$ である。よって $G_n(x)=F^n(x)-x$ は $[0,1]$ 上で狭義単調（$G_n^{\prime }=(F^n{)}^{\prime }-1$ は符号一定で 0 にならない）で、$G_n(1)-G_n(0)=(-3{)}^n-1$。$f^n(p)=p$ は $G_n(x)\in \mathbb{Z}$ と同値であり、$[0,1)$ 内の解の個数は、$G_n$ が $[0,1]$ で動く区間に含まれる整数の個数から端点の重複を除いて $|(-3{)}^n-1|$ となる（$G_n(0)=0$ は整数で 1 つ分、$G_n(1)=G_n(0)+(-3{)}^n-1$ も整数なので端点の重複を除いて $|(-3{)}^n-1|$ 個）。

したがって $N_n=|\mathrm{Fix}(f^n)|=3^n-1(n\text{偶数}),3^n+1(n\text{奇数})$。
$N_1=4,N_2=8,N_3=28,N_6=728$。

最小周期 6 の点の個数（メビウス反転）: $P_6=N_6-N_3-N_2+N_1=728-28-8+4=696$。
各軌道は相異なる 6 点からなるので軌道数は $696/6=116$。

検算: $N_1=4$ は $F(x)-x=-4x+\frac{\sin 2\pi x}{4\pi }$ が整数になる点が 4 個、と整合。$696$ は 6 で割り切れる。