力学系・エルゴード理論の問題

$T^n$ の不動点の個数. 正の整数 $n$ に対し、$T^n$ は $[0,1]$ を $2^n$ 個の区間
$$I_k=\left[\frac{k}{2^n},\frac{k+1}{2^n}\right](k=0,1,\dots ,2^n-1)$$
に分けたとき、各 $I_k$ 上で傾き $\pm 2^n$ の 1 次関数になり、$I_k$ を $[0,1]$ の上に全射に写す（$n$ についての帰納法でわかる：$T^n=T\circ T^{n-1}$ で、$T^{n-1}$ が $[0,1]$ 全体を走る各区間を、$T$ がさらに $[0,\frac{1}{2}]$, $[\frac{1}{2},1]$ の部分に分けてそれぞれ $[0,1]$ に写すから）。

各 $I_k$ 上で $y=T^n(x)$ のグラフは端点で値 $0$ と $1$ をとる線分なので、対角線 $y=x$ とちょうど $1$ 回交わる。区間の端点 $\frac{k}{2^n}$ で $T^n$ の値は $0$ か $1$ であり、そこが不動点になるのは $x=0$ のときだけ（$T^n(0)=0$、$T^n(1)=0\ne 1$）で、$x=0$ は $I_0$ にしか属さないので重複して数えることはない。よって
$$\#\mathrm{Fix}(T^n)=2^n.$$

最小周期 $6$ の点. $T^6(x)=x$ を満たす点の最小周期は $6$ の約数 $1,2,3,6$ のいずれかである。最小周期 $d$ の点の個数を $p(d)$ とすると
$$\#\mathrm{Fix}(T^n)=\sum _{d\mid n}p(d)$$
である。これを順に解く。
- $p(1)=2^1=2$（$x=0,\frac{2}{3}$）
- $p(2)=2^2-p(1)=4-2=2$
- $p(3)=2^3-p(1)=8-2=6$
- $p(6)=2^6-p(1)-p(2)-p(3)=64-2-2-6=54$

（メビウスの反転公式で $p(6)=2^6-2^3-2^2+2^1=54$ と求めてもよい。）

よって、最小周期 $6$ の周期点は $54$ 個である（周期軌道としては $54/6=9$ 本）。

$F_n=\#\{x\in [0,1]:T^n(x)=x\}$ とおく。$T^n$ は $[0,1]$ を $2^n$ 個の区間に分け、各区間上で線形（傾き $\pm 2^n$）で、各区間の像は $[0,1]$ 全体になる（区間の端点で $0$ か $1$ に対応）。各区間で傾き $\pm 2^n$ の線形写像が区間全体を $[0,1]$ に写すので、対角線 $y=x$ とちょうど 1 回交わる（傾きの絶対値が 1 より大きいので交点は 1 個で、端点で重複して数えることもない）。したがって $F_n=2^n$。\n\n（確認: $n=1$ では $x=0,2/3$ の 2 個で $2^1$。）\n\n最小周期がちょうど $n$ の点の個数を $P_n$ とすると、$F_n={\sum }_{d\mid n}{P}_d$ なのでメビウスの反転公式より $P_n={\sum }_{d\mid n}\mu (n/d)F_d$。\n$n=6$: $P_6=F_6-F_3-F_2+F_1=64-8-4+2=54$。\n\n検算: $P_1=2$, $P_2=F_2-F_1=2$, $P_3=F_3-F_1=6$, $P_6=F_6-(P_1+P_2+P_3)=64-10=54$ で一致する。また周期 6 の点は軌道ごとに 6 個なので $54/6=9$ 個の軌道となり、整数になる。