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代数的位相幾何の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学代数的位相幾何

正十角形の $10$ 本の辺を、ある頂点から反時計回りに順にたどり、次の語に従ってラベルと向きをつける。
$a b c b^{- 1} d a^{- 1} e c^{- 1} d^{- 1} e^{- 1}$
ここで文字 $x$ はその辺に反時計回りの向きをつけること、 $x^{- 1}$ は時計回りの向きをつけることを表す。同じ文字の $2$ 辺を向きが一致するように貼り合わせて得られる閉曲面を $S$ とする。 $S$ はある $0$ 以上の整数 $g$ に対して種数 $g$ の向き付け可能な閉曲面 $Σ_{g}$ に同相である。 $g$ を求めよ。

この問題で使うもの

閉曲面の分類と多角形の貼り合わせ（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（90 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

閉曲面の分類定理により、向き付け可能性とオイラー標数がわかれば曲面は決まる。まず各文字の現れ方から向き付け可能性を確かめよう。

ヒント 2

オイラー標数は（頂点の同値類の個数） $-$ （辺の対の個数 $5$ ） $+ 1$ で求まる。十角形の頂点がいくつの点に貼り合わさるかを、各文字の始点・終点を追って調べよう。

ヒント 3

頂点を $P_{0}, \dots, P_{9}$ とすると、文字 $a$ から $P_{0} \sim P_{6}$ , $P_{1} \sim P_{5}$ が得られる。同様に残りの文字からも同一視を書き出し、同値類を数えて $χ = 2 - 2 g$ と比べる。

答えと解説

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2

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解説を読む

向き付け可能性. どの文字も語の中に $x$ と $x^{- 1}$ の形で $1$ 回ずつ現れるので、貼り合わせはすべて向きを反転する対であり、 $S$ は向き付け可能である。

頂点の個数. 十角形の頂点を反時計回りに $P_{0}, P_{1}, \dots, P_{9}$ （ $P_{10} = P_{0}$ ）とし、 $i$ 番目の辺を $P_{i - 1}$ から $P_{i}$ への辺とする。文字 $x$ が $i$ 番目の辺にあれば、その辺の $x$ としての始点は $P_{i - 1}$ 、終点は $P_{i}$ 。 $x^{- 1}$ が $j$ 番目の辺にあれば、 $x$ としての始点は $P_{j}$ 、終点は $P_{j - 1}$ である。始点どうし・終点どうしを同一視すると
- $a$ （辺 $1$ と辺 $6$ ）: $P_{0} \sim P_{6}$ , $P_{1} \sim P_{5}$
- $b$ （辺 $2$ と辺 $4$ ）: $P_{1} \sim P_{4}$ , $P_{2} \sim P_{3}$
- $c$ （辺 $3$ と辺 $8$ ）: $P_{2} \sim P_{8}$ , $P_{3} \sim P_{7}$
- $d$ （辺 $5$ と辺 $9$ ）: $P_{4} \sim P_{9}$ , $P_{5} \sim P_{8}$
- $e$ （辺 $7$ と辺 $10$ ）: $P_{6} \sim P_{0}$ , $P_{7} \sim P_{9}$

これらをつなぐと、同値類は
${P_{0}, P_{6}}, {P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}, P_{5}, P_{7}, P_{8}, P_{9}}$
の $2$ つ。よって $S$ の CW 構造は頂点 $V = 2$ 、辺 $E = 5$ 、面 $F = 1$ をもつ。

オイラー標数.
$χ (S) = V - E + F = 2 - 5 + 1 = - 2.$
向き付け可能な閉曲面 $Σ_{g}$ では $χ = 2 - 2 g$ なので $2 - 2 g = - 2$ 、すなわち $g = 2$ 。

答えは $2$ 。

別解

頂点を $v_{0}, \dots, v_{9}$ （辺 $i$ は反時計回りに $v_{i - 1}$ から $v_{i}$ 、 $v_{10} = v_{0}$ ）とする。語は 1: $a$ , 2: $b$ , 3: $c$ , 4: $b^{- 1}$ , 5: $d$ , 6: $a^{- 1}$ , 7: $e$ , 8: $c^{- 1}$ , 9: $d^{- 1}$ , 10: $e^{- 1}$ 。

各文字 $x$ の向き（始点→終点）で頂点を同一視する。
- $a$ : 辺1 は $v_{0} \to v_{1}$ 、辺6 は $v_{6} \to v_{5}$ なので $v_{0} \sim v_{6}$ , $v_{1} \sim v_{5}$
- $b$ : 辺2 は $v_{1} \to v_{2}$ 、辺4 は $v_{4} \to v_{3}$ なので $v_{1} \sim v_{4}$ , $v_{2} \sim v_{3}$
- $c$ : 辺3 は $v_{2} \to v_{3}$ 、辺8 は $v_{8} \to v_{7}$ なので $v_{2} \sim v_{8}$ , $v_{3} \sim v_{7}$
- $d$ : 辺5 は $v_{4} \to v_{5}$ 、辺9 は $v_{9} \to v_{8}$ なので $v_{4} \sim v_{9}$ , $v_{5} \sim v_{8}$
- $e$ : 辺7 は $v_{6} \to v_{7}$ 、辺10 は $v_{0} \to v_{9}$ なので $v_{6} \sim v_{0}$ , $v_{7} \sim v_{9}$

同値類は ${v_{0}, v_{6}}$ と ${v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}, v_{5}, v_{7}, v_{8}, v_{9}}$ の $2$ つ。よって頂点数 $V = 2$ 、辺数 $E = 5$ 、面数 $F = 1$ 。 $χ = 2 - 5 + 1 = - 2$ 。各文字が $x$ と $x^{- 1}$ の対で現れるので向き付け可能であり、 $χ = 2 - 2 g$ より $g = 2$ 。

検算: 各頂点に出る辺の本数の合計は $2 E = 10$ で、 ${v_{0}, v_{6}}$ と残り $8$ 個の合計が $10$ 個の角と整合する。

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