代数的位相幾何の問題

正十角形の $10$ 本の辺を、ある頂点から反時計回りに順にたどり、次の語に従ってラベルと向きをつける。
$$abc{b}^{-1}d{a}^{-1}e{c}^{-1}{d}^{-1}{e}^{-1}$$
ここで文字 $x$ はその辺に反時計回りの向きをつけること、$x^{-1}$ は時計回りの向きをつけることを表す。同じ文字の $2$ 辺を向きが一致するように貼り合わせて得られる閉曲面を $S$ とする。$S$ はある $0$ 以上の整数 $g$ に対して種数 $g$ の向き付け可能な閉曲面 ${\Sigma }_g$ に同相である。$g$ を求めよ。

$8$ 角形の辺に、境界を一周する向きに沿って順に
$$abac{b}^{-1}dcd$$
とラベルを付け、同じ文字の辺どうしを矢印の向き（指数 $-1$ は逆向き）が一致するように貼り合わせて得られる閉曲面を $X$ とする。$X$ は $k$ 個の実射影平面の連結和 $\underset{k}{\underbrace{\mathbb{R}{P}^2\#\cdots \#\mathbb{R}{P}^2}}$ と同相である。$k$ を求めよ。

$2$ つの六角形 $P_1,P_2$ を用意する。各六角形の $6$ 本の辺を、ある頂点から反時計回りに順にたどり、次の語に従ってラベルと向きをつける。
$$P_1:abc{b}^{-1}de,P_2:afd{f}^{-1}{c}^{-1}{e}^{-1}$$
ここで、文字 $x$ はその辺を反時計回りの向きに、$x^{-1}$ は時計回りの向きにたどることを表す。同じ文字の $2$ 本の辺を、向きが一致するように同一視して得られる空間を $X$ とする（$X$ は連結な閉曲面になる）。

整数係数ホモロジー群が $H_1(X;\mathbb{Z})\cong {\mathbb{Z}}^r\oplus (\mathbb{Z}/2{)}^s$（$r,s$ は $0$ 以上の整数）と表されるとき、組 $(r,s)$ を求めよ。

$3$ 枚の六角形 $P,Q,R$ を用意する。各六角形の $6$ 本の辺を、ある頂点から反時計回りに順にたどり、次の語に従ってラベルと向きをつける。
$$P:abc{b}^{-1}de,Q:a^{-1}fg{f}^{-1}{d}^{-1}i,R:ch{g}^{-1}e{h}^{-1}{i}^{-1}$$
ここで、文字 $x$ はその辺の向きが反時計回りの向きと一致することを、$x^{-1}$ は逆向きであることを表す。$9$ 種類の文字 $a,b,c,d,e,f,g,h,i$ はそれぞれちょうど $2$ 回ずつ現れる。同じ文字のついた $2$ 本の辺を、向きが一致するように同一視して得られる空間を $M$ とする（$M$ は連結な閉曲面になる）。

整数係数ホモロジー群を $H_1(M;\mathbb{Z})\cong {\mathbb{Z}}^r\oplus T$（$r$ は $0$ 以上の整数、$T$ は有限アーベル群）と表すとき、$r$ と $T$ の位数 $|T|$ の組 $(r,|T|)$ を求めよ。

$0$ 胞体 $x$ を 1 個、$1$ 胞体 $a,b$ を 2 個（どちらも両端を $x$ に接着したループ）もつ $1$ 次元 CW 複体 $S^1\vee S^1$ に、$2$ 胞体 $e$ を 1 個、語
$$a^4{b}^{-1}{a}^2{b}^7$$
に沿って接着して得られる CW 複体を $X$ とする。整数係数ホモロジーについて、$H_1(X;\mathbb{Z})$ の階数を $b_1$、$H_2(X;\mathbb{Z})$ の階数を $b_2$、$H_1(X;\mathbb{Z})$ のねじれ部分群の位数を $t$ とするとき、組 $(b_1,b_2,t)$ をこの順に求めよ。