代数的位相幾何の問題

$0$ 胞体 $1$ 個に、$1$ 胞体 $x,y$ を接着して $2$ つの円周の一点和を作り、さらに $2$ 個の $2$ 胞体を、それぞれ語 $x^3{y}^2$ と語 $x{y}^4$ に沿って接着して得られる $2$ 次元 CW 複体を $X$ とする。基本群 ${\pi }_1(X)$ のアーベル化 ${\pi }_1(X{)}^{\mathrm{ab}}$ は有限群である。その位数を求めよ。

トーラス $T^2$ に、$0$ 胞体 $v$、$1$ 胞体 $a,b$、$2$ 胞体 $e$（語 $ab{a}^{-1}{b}^{-1}$ に沿って貼られたもの）からなる標準的な CW 構造を与える。$1$ 胞体 $a,b$ は $v$ を基点とする閉道とみなす。$T^2$ にさらに $2$ つの $2$ 胞体 $D_1,D_2$ を、境界をそれぞれ $1$ 骨格の閉道
$$a^2{b}^4,a^3{b}^{-1}$$
に沿って貼り付けて得られる CW 複体を $X$ とする。

整数係数ホモロジー群 $H_1(X;\mathbb{Z})$ は有限群である。$H_1(X;\mathbb{Z})$ の位数と、$H_2(X;\mathbb{Z})$ の階数を、この順に組で求めよ。

トーラス $T^2$ に、$1$ 頂点 $v$・$2$ 個の $1$ 胞体 $a,b$・$1$ 個の $2$ 胞体 $e$（接着写像は $ab{a}^{-1}{b}^{-1}$）からなる標準的な CW 構造を入れる。$1$ 骨格 $a\cup b$ の中で、$v$ から $a$ を $3$ 回たどり、続けて $b$ を $6$ 回たどる閉道 $\gamma :S^1\to T^2$（${\pi }_1(T^2,v)$ で $a^3{b}^6$ を表す）を接着写像として、$T^2$ に $2$ 胞体 $D$ を $1$ つ接着した CW 複体を $X$ とする。

$X$ の整数係数ホモロジーについて、$1$ 次ベッチ数 $b_1$、$2$ 次ベッチ数 $b_2$、$H_1(X;\mathbb{Z})$ のねじれ部分群の位数 $t$ を、この順に組 $(b_1,b_2,t)$ で答えよ。

CW 複体 $X$ を次のように構成する。

- $0$ 胞体は $1$ 個の点 $v$ のみ
- $1$ 胞体は $a,b,c$ の $3$ 個（いずれも両端が $v$ に貼られ、向きが定められたループ）
- $2$ 胞体は $e_1,e_2$ の $2$ 個で、境界の円周をそれぞれ $1$ 骨格の語
$$e_1:aba{b}^{-1}{c}^2,e_2:a^{-1}c{b}^{3}c$$
に沿って貼り付ける（指数 $-1$ は逆向きにたどることを表す）

整数係数ホモロジー群 $H_1(X;\mathbb{Z})$ を有限生成アーベル群として $H_1(X;\mathbb{Z})\cong {\mathbb{Z}}^r\oplus T$（$T$ は有限アーベル群）と表すとき、階数 $r$ と $T$ の位数 $|T|$ の組 $(r,|T|)$ をこの順に求めよ。

正六角形の辺に、ある頂点から反時計回りに順に語
$$abc{a}^{-1}{b}^{-1}{c}^{-1}$$
でラベルと向きを付ける（指数 $+1$ の辺は反時計回りの向き、指数 $-1$ の辺は時計回りの向きをもつ）。同じ文字の辺どうしを、向きが一致するように貼り合わせて得られる閉曲面を $M$ とする。$M$ は向き付け可能である。$M$ の種数 $g$ を求めよ。