代数的位相幾何の問題

トーラス $T^2$ に、$0$ 胞体 $v$、$1$ 胞体 $a,b$、$2$ 胞体 $e$（語 $ab{a}^{-1}{b}^{-1}$ に沿って貼られたもの）からなる標準的な CW 構造を与える。$1$ 胞体 $a,b$ は $v$ を基点とする閉道とみなす。$T^2$ にさらに $2$ つの $2$ 胞体 $D_1,D_2$ を、境界をそれぞれ $1$ 骨格の閉道
$$a^2{b}^4,a^3{b}^{-1}$$
に沿って貼り付けて得られる CW 複体を $X$ とする。

整数係数ホモロジー群 $H_1(X;\mathbb{Z})$ は有限群である。$H_1(X;\mathbb{Z})$ の位数と、$H_2(X;\mathbb{Z})$ の階数を、この順に組で求めよ。

トーラス $T^2$ に、$1$ 頂点 $v$・$2$ 個の $1$ 胞体 $a,b$・$1$ 個の $2$ 胞体 $e$（接着写像は $ab{a}^{-1}{b}^{-1}$）からなる標準的な CW 構造を入れる。$1$ 骨格 $a\cup b$ の中で、$v$ から $a$ を $3$ 回たどり、続けて $b$ を $6$ 回たどる閉道 $\gamma :S^1\to T^2$（${\pi }_1(T^2,v)$ で $a^3{b}^6$ を表す）を接着写像として、$T^2$ に $2$ 胞体 $D$ を $1$ つ接着した CW 複体を $X$ とする。

$X$ の整数係数ホモロジーについて、$1$ 次ベッチ数 $b_1$、$2$ 次ベッチ数 $b_2$、$H_1(X;\mathbb{Z})$ のねじれ部分群の位数 $t$ を、この順に組 $(b_1,b_2,t)$ で答えよ。

$0$ 胞体 $x$ を 1 個、$1$ 胞体 $a,b$ を 2 個（どちらも両端を $x$ に接着したループ）もつ $1$ 次元 CW 複体 $S^1\vee S^1$ に、$2$ 胞体 $e$ を 1 個、語
$$a^4{b}^{-1}{a}^2{b}^7$$
に沿って接着して得られる CW 複体を $X$ とする。整数係数ホモロジーについて、$H_1(X;\mathbb{Z})$ の階数を $b_1$、$H_2(X;\mathbb{Z})$ の階数を $b_2$、$H_1(X;\mathbb{Z})$ のねじれ部分群の位数を $t$ とするとき、組 $(b_1,b_2,t)$ をこの順に求めよ。

種数 $2$ の向き付け可能閉曲面 ${\Sigma }_2$ に、$0$ 胞体 $v$、$1$ 胞体 $a_1,b_1,a_2,b_2$（いずれも $v$ を基点とするループ）、語 $a_1{b}_1{a}_1^{-1}{b}_1^{-1}{a}_2{b}_2{a}_2^{-1}{b}_2^{-1}$ に沿って貼られた $2$ 胞体 $1$ 個からなる標準的な CW 構造を入れる。${\Sigma }_2$ に、さらに $4$ 個の $2$ 胞体 $D_1,D_2,D_3,D_4$ を、それぞれの境界の円周を $1$ 骨格の語
$$D_1:a_1{b}_2^2,D_2:b_1{a}_2,D_3:a_2^3{b}_1^{-1},D_4:b_2{a}_1^{-1}{b}_2$$
に沿って貼り付けて得られる空間を $X$ とする（指数 $-1$ は逆向きにたどることを表す）。基本群 ${\pi }_1(X,v)$ のアーベル化 ${\pi }_1(X,v)/[{\pi }_1(X,v),{\pi }_1(X,v)]$ は有限群である。その位数を求めよ。

$2$ つの六角形 $P_1,P_2$ を用意する。各六角形の $6$ 本の辺を、ある頂点から反時計回りに順にたどり、次の語に従ってラベルと向きをつける。
$$P_1:abc{b}^{-1}de,P_2:afd{f}^{-1}{c}^{-1}{e}^{-1}$$
ここで、文字 $x$ はその辺を反時計回りの向きに、$x^{-1}$ は時計回りの向きにたどることを表す。同じ文字の $2$ 本の辺を、向きが一致するように同一視して得られる空間を $X$ とする（$X$ は連結な閉曲面になる）。

整数係数ホモロジー群が $H_1(X;\mathbb{Z})\cong {\mathbb{Z}}^r\oplus (\mathbb{Z}/2{)}^s$（$r,s$ は $0$ 以上の整数）と表されるとき、組 $(r,s)$ を求めよ。