力学系・エルゴード理論の問題

$X=\{1,2,3{\}}^{\mathbb{Z}}$ 上の両側シフト $\sigma :X\to X$ を $(\sigma x{)}_n=x_{n+1}$ で定める（$X$ には直積位相とそのボレル $\sigma$-加法族を入れる）。確率行列
$$P=(p_{ij}{)}_{1\le i,j\le 3}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& \frac{1}{4}& \frac{1}{4}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$$
に対し、$\pi =({\pi }_1,{\pi }_2,{\pi }_3)$ を $\pi P=\pi$ を満たすただ 1 つの確率ベクトルとする。$X$ 上の確率測度 $\mu$ を、任意の整数 $m$、正の整数 $k$、$a_0,\dots ,a_{k-1}\in \{1,2,3\}$ に対して
$$\mu (\{x\in X:x_m=a_0,x_{m+1}=a_1,\dots ,x_{m+k-1}=a_{k-1}\})={\pi }_{a_0}{p}_{a_0{a}_1}{p}_{a_1{a}_2}\cdots p_{a_{k-2}{a}_{k-1}}$$
（$k=1$ のときは右辺を ${\pi }_{a_0}$ とする）を満たすもの（マルコフ測度）として定める。$\mu$ は $\sigma$ 不変である。$\sigma$ の $\mu$ に関する測度論的エントロピー（コルモゴロフ・シナイのエントロピー）$h_{\mu }(\sigma )$ を求めよ。ただし、エントロピーは自然対数 $\log$ を用いて定義する（$0\log 0=0$ とする）。

$\Sigma =\{0,1,2{\}}^{\mathbb{Z}}$ 上の両側シフト $\sigma :\Sigma \to \Sigma$ を $(\sigma x{)}_n=x_{n+1}$ で定める。確率行列
$$P=\left(\begin{array}{ccc}0& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{3}& \frac{1}{3}& \frac{1}{3}\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$$
（行と列は記号 $0,1,2$ の順に対応し、$(i,j)$ 成分 $p_{ij}$ を $i$ から $j$ への遷移確率とする）と、$\pi P=\pi$ を満たす確率ベクトル $\pi =({\pi }_0,{\pi }_1,{\pi }_2)$ に対し、シリンダー集合上で
$$\mu (\{x\in \Sigma :x_k=a_0,x_{k+1}=a_1,\dots ,x_{k+n}=a_n\})={\pi }_{a_0}{p}_{a_0{a}_1}\cdots p_{a_{n-1}{a}_n}$$
（$k\in \mathbb{Z}$, $n\ge 0$）を満たす $\sigma$ 不変ボレル確率測度 $\mu$（マルコフ測度）を考える。$P$ は既約かつ非周期的なので、このような $\pi$ はただ 1 つに定まる。

$\mu$ に関する $\sigma$ の測度論的エントロピー $h_{\mu }(\sigma )$ を求めよ。

$\{0,1{\}}^{\mathbb{Z}}$ に積位相を入れ、両側シフト $\sigma$ を $(\sigma x{)}_n=x_{n+1}$ で定める。部分シフト
$$X=\left\{x=(x_n{)}_{n\in \mathbb{Z}}\in \{0,1{\}}^{\mathbb{Z}}|\text{すべての }n\in \mathbb{Z}\text{ に対して }(x_n,x_{n+1})\ne (1,1)\right\}$$
を考え、$\sigma :X\to X$ の最大エントロピー測度（測度論的エントロピーが位相エントロピーに等しい $\sigma$ 不変ボレル確率測度。この系ではただ 1 つ存在する）を $\mu$ とする。

集合 $A=\{x\in X\mid x_0=1\}$ に対し、$x\in A$ の初回帰還時間を $r_A(x)=\min \{n\ge 1\mid {\sigma }^{n}x\in A\}$ とし（$\mu$ に関してほとんどすべての $x\in A$ で有限である）、誘導写像 ${\sigma }_A:A\to A$ を ${\sigma }_A(x)={\sigma }^{r_A(x)}(x)$、$A$ 上の確率測度を ${\mu }_A(E)=\frac{\mu (E)}{\mu (A)}$ で定める。

誘導系の測度論的エントロピー $h_{{\mu }_A}({\sigma }_A)$ を求めよ。ただし $\log$ は自然対数とする。

${\mathbb{N}}_0=\{0,1,2,\dots \}$ とし、$X=\{0,1{\}}^{{\mathbb{N}}_0}$ 上の片側シフト $\sigma :X\to X$ を $(\sigma x{)}_n=x_{n+1}$ で定める。$X$ には積位相とボレル集合族を入れる。シリンダー集合を
$$[11]=\{x\in X:x_0=1,x_1=1\}$$
とする。$\sigma$ 不変なボレル確率測度 $\mu$ のうち $\mu ([11])=\frac{2}{3}$ を満たすもの全体を $\mathcal{M}$ とするとき、
$$\underset{\mu \in \mathcal{M}}{\sup }{h}_{\mu }(\sigma )$$
の値を求めよ。ただし $h_{\mu }(\sigma )$ は $\mu$ に関する $\sigma$ の測度論的エントロピー（コルモゴロフ–シナイのエントロピー）であり、対数は自然対数とする。

写像 $T:[0,1]\to [0,1]$ を
$$T(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x}{1-x}& \left(0\le x\le \frac{1}{2}\right)\\ 2x-1& \left(\frac{1}{2}<x\le 1\right)\end{array}$$
で定める。$T$ は $(0,1]$ を $(0,1]$ に写す。次の事実は証明なしに用いてよい。

• $(0,1]$ 上には、Lebesgue 測度と互いに絶対連続で $T$ 不変な $\sigma$ 有限測度 $\mu$ が存在し、正の定数倍を除いて一意である。
• $T$ は $\mu$ に関して保存的かつエルゴード的である。

正の整数 $n$ と $x\in [0,1]$ に対し
$$S_n(x)=\sum _{k=0}^{n-1}{T}^k(x),N_n(x)=\#\left\{k\in \{0,1,\dots ,n-1\}:T^k(x)>\frac{1}{2}\right\}$$
とおく（$T^0$ は恒等写像）。Lebesgue 測度に関してほとんどすべての $x\in [0,1]$ に対して極限
$$L=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{S_n(x)}{N_n(x)}$$
が存在して $x$ によらない一定値になる。$L$ の値を求めよ。