力学系・エルゴード理論の問題

$X=\{1,2,3{\}}^{\mathbb{Z}}$ 上の両側シフト $\sigma :X\to X$ を $(\sigma x{)}_n=x_{n+1}$ で定める（$X$ には直積位相とそのボレル $\sigma$-加法族を入れる）。確率行列
$$P=(p_{ij}{)}_{1\le i,j\le 3}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& \frac{1}{4}& \frac{1}{4}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$$
に対し、$\pi =({\pi }_1,{\pi }_2,{\pi }_3)$ を $\pi P=\pi$ を満たすただ 1 つの確率ベクトルとする。$X$ 上の確率測度 $\mu$ を、任意の整数 $m$、正の整数 $k$、$a_0,\dots ,a_{k-1}\in \{1,2,3\}$ に対して
$$\mu (\{x\in X:x_m=a_0,x_{m+1}=a_1,\dots ,x_{m+k-1}=a_{k-1}\})={\pi }_{a_0}{p}_{a_0{a}_1}{p}_{a_1{a}_2}\cdots p_{a_{k-2}{a}_{k-1}}$$
（$k=1$ のときは右辺を ${\pi }_{a_0}$ とする）を満たすもの（マルコフ測度）として定める。$\mu$ は $\sigma$ 不変である。$\sigma$ の $\mu$ に関する測度論的エントロピー（コルモゴロフ・シナイのエントロピー）$h_{\mu }(\sigma )$ を求めよ。ただし、エントロピーは自然対数 $\log$ を用いて定義する（$0\log 0=0$ とする）。

記号の集合 $\{1,2,3\}$ と行列
$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$$
に対し、
$$X_A=\left\{x=(x_n{)}_{n\in \mathbb{Z}}\in \{1,2,3{\}}^{\mathbb{Z}}|\text{すべての }n\in \mathbb{Z}\text{ について }{A}_{x_n{x}_{n+1}}=1\right\}$$
とし、積位相の誘導位相を入れる。$\sigma :X_A\to X_A$ を左シフト $(\sigma x{)}_n=x_{n+1}$ とする。

さらに、確率ベクトル $\pi =({\pi }_1,{\pi }_2,{\pi }_3)$ と確率行列
$$P=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{3}& \frac{1}{3}& \frac{1}{3}\\ 1& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$$
で $\pi P=\pi$ を満たすものをとり、$X_A$ 上のマルコフ測度 $\mu$ を、任意の整数 $m$、0 以上の整数 $k$ と記号 $a_0,\dots ,a_k$ に対して
$$\mu \left(\{x\in X_A\mid x_m=a_0,x_{m+1}=a_1,\dots ,x_{m+k}=a_k\}\right)={\pi }_{a_0}{P}_{a_0{a}_1}{P}_{a_1{a}_2}\cdots P_{a_{k-1}{a}_k}$$
で定める（$\mu$ は $\sigma$ 不変な確率測度である）。

$\sigma$ の位相エントロピー $h_{\mathrm{top}}(\sigma )$ と、$\mu$ に関する測度論的エントロピー（コルモゴロフ・シナイエントロピー）$h_{\mu }(\sigma )$ を、この順に組 $\left(h_{\mathrm{top}}(\sigma ),h_{\mu }(\sigma )\right)$ で求めよ。ただし $\log$ は自然対数とする。

${\mathbb{N}}_0=\{0,1,2,\dots \}$ とし、$X=\{0,1{\}}^{{\mathbb{N}}_0}$ 上の片側シフト $\sigma :X\to X$ を $(\sigma x{)}_n=x_{n+1}$ で定める。$X$ には積位相とボレル集合族を入れる。シリンダー集合を
$$[11]=\{x\in X:x_0=1,x_1=1\}$$
とする。$\sigma$ 不変なボレル確率測度 $\mu$ のうち $\mu ([11])=\frac{2}{3}$ を満たすもの全体を $\mathcal{M}$ とするとき、
$$\underset{\mu \in \mathcal{M}}{\sup }{h}_{\mu }(\sigma )$$
の値を求めよ。ただし $h_{\mu }(\sigma )$ は $\mu$ に関する $\sigma$ の測度論的エントロピー（コルモゴロフ–シナイのエントロピー）であり、対数は自然対数とする。

2 次元トーラス ${\mathbb{T}}^2={\mathbb{R}}^2/{\mathbb{Z}}^2$ 上の写像 $f:{\mathbb{T}}^2\to {\mathbb{T}}^2$ を、行列
$$A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 1\end{array}\right)$$
により $f(x+{\mathbb{Z}}^2)=Ax+{\mathbb{Z}}^2$（$x\in {\mathbb{R}}^2$ は列ベクトル）で定める。点 $p\in {\mathbb{T}}^2$ が最小周期 $n$（$n$ は正の整数）をもつとは、$f^n(p)=p$ であり、かつ $1\le k<n$ を満たすどの整数 $k$ についても $f^k(p)\ne p$ であることとする。最小周期がちょうど $4$ である ${\mathbb{T}}^2$ の点の個数を求めよ。

閉区間 $[0,1]$ 上の写像 $T:[0,1]\to [0,1]$ を
$$T(x)=\{\begin{array}{ll}x+\frac{1}{2}& \left(0\le x<\frac{1}{2}\right)\\ 2x-1& \left(\frac{1}{2}\le x\le 1\right)\end{array}$$
で定める。$x_0\in [0,1]$ に対して $x_{k+1}=T(x_k)$ $(k=0,1,2,\dots )$ とおく。

$T$ はルベーグ測度に絶対連続な不変確率測度 $\mu$ をただ一つもち、$\mu$ に関してエルゴード的で、その密度は $[0,1]$ 上で正であることを認めてよい。このとき、ルベーグ測度に関してほとんどすべての $x_0\in [0,1]$ に対して存在する極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}{x}_k{x}_{k+1}$$
の値を求めよ。