力学系・エルゴード理論の問題

ステップ1: マルコフ分割。 $I_1=\left[0,\frac{1}{3}\right],I_2=\left[\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right],I_3=\left[\frac{2}{3},1\right]$ とおく。$f$ は各 $I_i$ 上で 1 次関数（傾きはそれぞれ $2,-3,2$）で狭義単調であり、
$$f(I_1)=\left[\frac{1}{3},1\right]=I_2\cup I_3,f(I_2)=[0,1]=I_1\cup I_2\cup I_3,f(I_3)=\left[0,\frac{2}{3}\right]=I_1\cup I_2.$$
よって $f(I_i)\supset I_j$ のとき $M_{ij}=1$、そうでないとき $M_{ij}=0$ とした遷移行列は
$$M=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)$$
である。$M^2$ の成分はすべて正なので $M$ は原始的である。

ステップ2: 固有多項式とスペクトル半径。
$$\det (xE-M)=\left|\begin{array}{ccc}x& -1& -1\\ -1& x-1& -1\\ -1& -1& x\end{array}\right|=x^3-x^2-3x-1=(x+1)(x^2-2x-1).$$
よって固有値は $-1,1\pm \sqrt{2}$ であり、スペクトル半径は $\rho (M)=1+\sqrt{2}$。

ステップ3: ラップ数との関係。 区分的単調な連続写像については、ミシュレヴィッチ–シュレンクの定理により、$f^n$ の単調区間（ラップ）の最大個数を $\ell (f^n)$ として
$$h_{\mathrm{top}}(f)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\log \ell (f^n)$$
が成り立つ。

長さ $n$ の許容語 $i_0{i}_1\cdots i_{n-1}$（$M_{i_k{i}_{k+1}}=1$）に対し、$J=\{x:f^k(x)\in I_{i_k}(0\le k\le n-1)\}$ は区間で、$f^n$ は $J$ 上で単調、$f^n(J)=f(I_{i_{n-1}})$ はいくつかの $I_j$ の和になる。このような区間の個数は $N_n={\sum }_{i,j}(M^{n-1}{)}_{ij}$ である。

• 各ラップは区間 $J$ の和に分かれるので $\ell (f^n)\le N_n$。
• 1 つのラップ上で $f^n$ は単射であり、その上の各 $J$ の像は長さ $\frac{1}{3}$ 以上で内部が互いに交わらず、すべて $[0,1]$ に含まれる。よって 1 つのラップに含まれる $J$ は高々 $3$ 個で、$\ell (f^n)\ge N_n/3$。

$M$ は原始的なのでペロン–フロベニウスの定理より ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}\log N_n=\log \rho (M)$。したがって
$$h_{\mathrm{top}}(f)=\log \rho (M)=\log \left(1+\sqrt{2}\right).$$

（注意: 傾きの大きさは $2,3,2$ と一定でないので、「$\log |\text{傾き}|$」でエントロピーを求めることはできない。）

$A=[0,\frac{1}{3}]$, $B=[\frac{1}{3},\frac{2}{3}]$, $C=[\frac{2}{3},1]$ とおく。各区間で $f$ は 1 次関数（端点の値が異なるので狭義単調）で、分点 $0,\frac{1}{3},\frac{2}{3},1$ は $f$ により $\frac{1}{3},1,0,\frac{2}{3}$ に写り、再び分点になる。よって $\{A,B,C\}$ はマルコフ分割である。\n\n像: $f(A)=[\frac{1}{3},1]=B\cup C$、$f(B)=[0,1]=A\cup B\cup C$（$\frac{1}{3}\to 1$、$\frac{2}{3}\to 0$）、$f(C)=[0,\frac{2}{3}]=A\cup B$。\n遷移行列は\n$$M=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right).$$\n区分的に単調な連続写像でマルコフ分割をもつので、$h_{\mathrm{top}}(f)=\log \rho (M)$（$\rho$ はスペクトル半径）。\n\n$M$ は既約な非負行列で、固有ベクトル $(a,b,a)$ を仮定すると $\lambda a=a+b$、$\lambda b=2a+b$。これより $(\lambda -1{)}^2=2$、$\lambda =1+\sqrt{2}$、$b=\sqrt{2}a>0$。正の固有ベクトルに対応する固有値なので、ペロン・フロベニウスの定理により $\rho (M)=1+\sqrt{2}$。\n\n検算: 特性多項式は $\det (\lambda I-M)={\lambda }^3-{\lambda }^2-3\lambda +1$ で、$\lambda =1+\sqrt{2}$ を代入すると $(3+2\sqrt{2})(1+\sqrt{2})-(3+2\sqrt{2})-3(1+\sqrt{2})+1=(7+5\sqrt{2})-3-2\sqrt{2}-3-3\sqrt{2}+1=2-0$ ではなく計算し直すと、$(1+\sqrt{2}{)}^3=7+5\sqrt{2}$、$(1+\sqrt{2}{)}^2=3+2\sqrt{2}$ より $7+5\sqrt{2}-3-2\sqrt{2}-3-3\sqrt{2}+1=2$。不一致なので特性多項式を再計算する: $\det (\lambda I-M)=\lambda (\lambda -1)\lambda -\dots$ を展開すると ${\lambda }^3-{\lambda }^2-3\lambda -1$ となり、$7+5\sqrt{2}-3-2\sqrt{2}-3-3\sqrt{2}-1=0$ ✓。したがって $\lambda =1+\sqrt{2}$ は特性方程式の根で、$h_{\mathrm{top}}(f)=\log (1+\sqrt{2})\approx 0.881$。