力学系・エルゴード理論の問題

1. 不動点. $F_r(x,y)=(x,y)$ とすると、第 2 成分から $y=x$。第 1 成分から $x>0$ より
$$\exp (r(1-x))=1⟺r(1-x)=0⟺x=1$$
（$r>0$）。よって $D$ 内の不動点は $p=(1,1)$ のみである。

2. 線形化. $g(x,y)=x\exp (r(1-\frac{2x+y}{3}))$ とおくと
$$\frac{\partial g}{\partial x}=\exp (\cdots )\left(1-\frac{2r}{3}x\right),\frac{\partial g}{\partial y}=-\frac{r}{3}x\exp (\cdots ).$$
$p=(1,1)$ では $\exp (\cdots )=1$ なので、ヤコビ行列は
$$J=\left(\begin{array}{cc}1-\frac{2r}{3}& -\frac{r}{3}\\ 1& 0\end{array}\right).$$
特性多項式は
$${\lambda }^2-\left(1-\frac{2r}{3}\right)\lambda +\frac{r}{3}=0.$$

3. 固有値が実数でない条件. 判別式が負であればよい:
$${\left(1-\frac{2r}{3}\right)}^2-\frac{4r}{3}<0⟺1-\frac{4r}{3}+\frac{4r^2}{9}-\frac{4r}{3}<0⟺4r^2-24r+9<0.$$
$4r^2-24r+9=0$ の解は $r=\frac{24\pm \sqrt{576-144}}{8}=\frac{24\pm 12\sqrt{3}}{8}=3\pm \frac{3\sqrt{3}}{2}$ なので
$$3-\frac{3\sqrt{3}}{2}<r<3+\frac{3\sqrt{3}}{2}.$$

4. 絶対値の条件. 固有値が共役複素数 $\lambda ,\bar{\lambda }$ のとき、$|\lambda {|}^2=\lambda \bar{\lambda }=\det J=\frac{r}{3}$。よって $|\lambda |<1⟺r<3$。

5. まとめ. $3-\frac{3\sqrt{3}}{2}\approx 0.402<3<3+\frac{3\sqrt{3}}{2}$ なので、求める範囲は
$$3-\frac{3\sqrt{3}}{2}<r<3.$$
なお $r=3$ では特性多項式が ${\lambda }^2+\lambda +1$ となり、固有値は単位円上の $e^{\pm 2\pi i/3}$（${\lambda }^3=1$ をみたす 1 の原始 3 乗根）である。これは共役複素固有値が単位円上に来る値であり、強共鳴（$1:3$ 共鳴）の点にあたる。また $0<r<3-\frac{3\sqrt{3}}{2}$ では固有値は $0$ と $1$ の間の 2 つの実数（和 $1-\frac{2r}{3}>0$、積 $\frac{r}{3}>0$、$\lambda =1$ での特性多項式の値は $r>0$）で、不動点は安定結節点となる。

不動点: $x=x\exp (r(1-(2x+y)/3))$, $y=x$ より $x=y>0$ で $\exp (r(1-x))=1$、$x=1$。よって $p=(1,1)$。ヤコビ行列: ${\partial }_x{F}^1=e^{r(1-(2x+y)/3)}(1-\frac{2r}{3}x)$、${\partial }_y{F}^1=-\frac{r}{3}x{e}^{r(1-(2x+y)/3)}$。$p$ で $J=\left(\begin{array}{cc}1-\frac{2r}{3}& -\frac{r}{3}\\ 1& 0\end{array}\right)$。トレース $a=1-\frac{2r}{3}$、行列式 $d=\frac{r}{3}$。固有値は ${\lambda }^2-a\lambda +d=0$ の根。(1) 2 つとも実数でない条件は判別式 $a^2-4d<0$。$s=r/3$ とおくと $(1-2s{)}^2-4s<0⟺4s^2-8s+1<0⟺1-\frac{\sqrt{3}}{2}<s<1+\frac{\sqrt{3}}{2}$、すなわち $3-\frac{3\sqrt{3}}{2}<r<3+\frac{3\sqrt{3}}{2}$。(2) このとき共役な複素数根なので $|\lambda {|}^2=d=r/3$。$|\lambda |<1⟺r<3$。両方を合わせて $3-\frac{3\sqrt{3}}{2}<r<3$（$3-\frac{3\sqrt{3}}{2}\approx 0.402$）。検算: $r=1$ では $a=1/3$, $d=1/3$、判別式 $1/9-4/3<0$ で複素根、$|\lambda {|}^2=1/3<1$ で条件を満たす。$r=0.3$ では $a=0.8$, $d=0.1$、判別式 $0.64-0.4>0$ で実根、除外される。端点は、$r=3-\frac{3\sqrt{3}}{2}$ で重根（実数）、$r=3$ で $|\lambda |=1$ なので含まれない。