力学系・エルゴード理論の問題

共存平衡点の存在. $y>0$ で $\frac{dy}{dt}=0$ となるには $\frac{x}{1+x}=d$ が必要であり、$0<d<1$ よりこれを解くと
$$x^{\ast }=\frac{d}{1-d}>0$$
である。$x>0$ で $\frac{dx}{dt}=0$ となるには $1-\frac{x}{3}-\frac{y}{1+x}=0$ が必要なので、
$$y^{\ast }=\left(1-\frac{x^{\ast }}{3}\right)(1+x^{\ast })$$
となる。$y^{\ast }>0$ となる条件は $x^{\ast }<3$ である。これは $\frac{d}{1-d}<3$ すなわち $d<\frac{3}{4}$ と同値である。よって共存平衡点は $0<d<\frac{3}{4}$ のときに限りただ 1 つ存在する。$d=\frac{3}{4}$ のときは $y^{\ast }=0$ となり、境界上の平衡点 $(3,0)$ と一致する。

ヤコビ行列. $f(x,y)=x\left(1-\frac{x}{3}\right)-\frac{xy}{1+x}$, $g(x,y)=y\left(\frac{x}{1+x}-d\right)$ とおくと、
$$f_x=1-\frac{2x}{3}-\frac{y}{(1+x{)}^2},f_y=-\frac{x}{1+x},g_x=\frac{y}{(1+x{)}^2},g_y=\frac{x}{1+x}-d$$
である。各成分を共存平衡点 $(x^{\ast },y^{\ast })$ で評価する。
- $\frac{x^{\ast }}{1+x^{\ast }}=d$ より $g_y=0$, $f_y=-d$ である。
- $\frac{y^{\ast }}{1+x^{\ast }}=1-\frac{x^{\ast }}{3}$ より
$$f_x=1-\frac{2x^{\ast }}{3}-\frac{1-\frac{x^{\ast }}{3}}{1+x^{\ast }}=\frac{\left(1-\frac{2x^{\ast }}{3}\right)(1+x^{\ast })-1+\frac{x^{\ast }}{3}}{1+x^{\ast }}=\frac{\frac{2}{3}{x}^{\ast }(1-x^{\ast })}{1+x^{\ast }}$$
となる。

したがって
$$\mathrm{tr}J=\frac{2x^{\ast }(1-x^{\ast })}{3(1+x^{\ast })},\det J=-f_y{g}_x=d\cdot \frac{y^{\ast }}{(1+x^{\ast }{)}^2}>0$$
である。

固有値の条件. $2\times 2$ 実行列の固有値 $\lambda$ は ${\lambda }^2-(\mathrm{tr}J)\lambda +\det J=0$ の解である。2 つの固有値の実部がともに負となるのは、$\mathrm{tr}J<0$ かつ $\det J>0$ のときに限る（ラウス・フルビッツの条件）。$\det J>0$ は常に成り立つ。$x^{\ast }>0$ なので、$\mathrm{tr}J<0$ は $x^{\ast }>1$ と同値である。これは $\frac{d}{1-d}>1$、すなわち $d>\frac{1}{2}$ と同値である。

なお $d=\frac{1}{2}$ では $\mathrm{tr}J=0$, $\det J>0$ となり、固有値は純虚数の対になる（ホップ分岐の値）。$d<\frac{1}{2}$ では実部が正となる。

以上より、求める範囲は
$$\frac{1}{2}<d<\frac{3}{4}$$
である。

平衡点の条件より、$x>0,y>0$ では $\frac{x}{1+x}=d$ なので $x^{\ast }=\frac{d}{1-d}$ である。もう一方の式 $1-\frac{x}{3}=\frac{y}{1+x}$ より $y^{\ast }=(1+x^{\ast })\left(1-\frac{x^{\ast }}{3}\right)$ となる。

$y^{\ast }>0$ となる条件は $x^{\ast }<3$ である。すなわち $\frac{d}{1-d}<3$ より $d<\frac{3}{4}$。$0<d<1$ のとき $x^{\ast }>0$ は常に成り立つ。よって共存平衡点が存在する条件は $0<d<\frac{3}{4}$ である。

ヤコビ行列を求める。$h(x)=1-\frac{x}{3}$ とおくと、$x^{\prime }=x\left(h(x)-\frac{y}{1+x}\right)$ と書ける。平衡点では $\frac{y^{\ast }}{1+x^{\ast }}=h(x^{\ast })$ が成り立つ。

• $J_{11}=x^{\ast }\left(h^{\prime }+\frac{y^{\ast }}{(1+x^{\ast }{)}^2}\right)=x^{\ast }\left(-\frac{1}{3}+\frac{1-x^{\ast }/3}{1+x^{\ast }}\right)=x^{\ast }\cdot \frac{2(1-x^{\ast })}{3(1+x^{\ast })}$
• $J_{12}=-\frac{x^{\ast }}{1+x^{\ast }}=-d$
• $J_{21}=y^{\ast }\cdot \frac{1}{(1+x^{\ast }{)}^2}>0$
• $J_{22}=\frac{x^{\ast }}{1+x^{\ast }}-d=0$

よって $\det J=-J_{12}{J}_{21}=d{J}_{21}>0$ である。したがって固有値の実部がすべて負となる条件は $\mathrm{tr}J<0$ であり、これは $x^{\ast }>1$ と同値である。

$x^{\ast }>1$ は $\frac{d}{1-d}>1$、すなわち $d>\frac{1}{2}$ である。$d=\frac{1}{2}$ では $\mathrm{tr}J=0$ で固有値は純虚数となるため含めない。

以上を合わせて $\frac{1}{2}<d<\frac{3}{4}$ を得る。

検算：$d=0.6$ のとき $x^{\ast }=1.5$、$y^{\ast }=2.5\cdot 0.5=1.25$ で、$J_{11}=1.5\cdot \frac{2(-0.5)}{3\cdot 2.5}=-0.2<0$ となり安定である。