力学系・エルゴード理論の問題

ステップ1: 平衡点。 右辺を $0$ とおくと、第 1 式から $y=x$、第 3 式から $z=xy=x^2$、第 2 式から $x(r-1-z)=0$ を得る。$x\ne 0$ ならば $z=r-1$、$x^2=r-1$ である。よって原点以外の平衡点が存在するのは $r>1$ のときで、
$$C_{\pm }=\left(\pm \sqrt{r-1},\pm \sqrt{r-1},r-1\right)$$
の 2 個である。$r\le 1$ のときは原点のみなので、以下 $r>1$ とする。

ステップ2: 線形化。 ヤコビ行列は
$$J(x,y,z)=\left(\begin{array}{ccc}-4& 4& 0\\ r-z& -1& -x\\ y& x& -1\end{array}\right).$$
$C_{\pm }$ では $r-z=1$、$y=x=\pm \sqrt{r-1}$ なので、$x^2=r-1$ として
$$\det (\lambda E-J)=\left|\begin{array}{ccc}\lambda +4& -4& 0\\ -1& \lambda +1& x\\ -x& -x& \lambda +1\end{array}\right|.$$
第 1 行で展開すると
$$(\lambda +4)\{(\lambda +1{)}^2+x^2\}+4\{-(\lambda +1)+x^2\}$$
$$={\lambda }^3+6{\lambda }^2+9\lambda +4+x^2(\lambda +4)-4\lambda -4+4x^2$$
$$={\lambda }^3+6{\lambda }^2+(5+x^2)\lambda +8x^2.$$
$x^2=r-1$ を代入して、特性多項式は（$C_{+}$, $C_{-}$ で共通に）
$$p(\lambda )={\lambda }^3+6{\lambda }^2+(r+4)\lambda +8(r-1).$$

ステップ3: ラウス–フルヴィッツの判定法。 実係数 3 次式 ${\lambda }^3+a_2{\lambda }^2+a_1\lambda +a_0$ のすべての根の実部が負であるための必要十分条件は
$$a_2>0,a_0>0,a_2{a}_1>a_0$$
である。ここで $a_2=6>0$、$a_0=8(r-1)>0$（$r>1$ より）であり、
$$6(r+4)>8(r-1)⟺24+6r>8r-8⟺r<16.$$

ステップ4: 結論。 求める範囲は $1<r<16$ である。なお $r=16$ では $p(\lambda )=(\lambda +6)({\lambda }^2+20)$ となり、純虚数の固有値 $\pm 2\sqrt{5}i$ が現れる（ホップ分岐の値）。

平衡点: $4(y-x)=0$ より $y=x$。第 3 式から $z=x^2$、第 2 式 $rx-x-xz=0$ より $x(r-1-x^2)=0$。原点以外の平衡点は $x=\pm \sqrt{r-1}$、$y=x$、$z=r-1$ で、存在する条件は $r>1$（$r=1$ では原点だけ）。\n\n平衡点 $(x_0,x_0,r-1)$（$x_0^2=r-1$）でのヤコビ行列:\n$$J=\left(\begin{array}{ccc}-4& 4& 0\\ r-z& -1& -x\\ y& x& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-4& 4& 0\\ 1& -1& -x_0\\ x_0& x_0& -1\end{array}\right).$$\n特性多項式 $\det (\lambda I-J)$: トレース $=-6$、2 次の主小行列式の和は $(4-4)+(4-0)+(1+x_0^2)=4+r$（$\{1,2\}$ 成分: $(-4)(-1)-4\cdot 1=0$、$\{1,3\}$: $4$、$\{2,3\}$: $1+x_0^2=r$）、$\det J=-8(r-1)$。よって\n$${\lambda }^3+6{\lambda }^2+(4+r)\lambda +8(r-1)=0.$$\n（ローレンツ系で $\sigma =4,b=1$ の場合: ${\lambda }^3+(\sigma +b+1){\lambda }^2+b(\sigma +r)\lambda +2\sigma b(r-1)$ と一致。）\n\nラウス・フルヴィッツの条件（3 次式 ${\lambda }^3+a_1{\lambda }^2+a_2\lambda +a_3$ の根の実部がすべて負 $⟺a_1,a_2,a_3>0$ かつ $a_1{a}_2>a_3$）: $r>1$ なら $a_1=6$、$a_2=4+r$、$a_3=8(r-1)$ はすべて正。$a_1{a}_2>a_3$: $6(4+r)>8(r-1)⟺32>2r⟺r<16$。\n\nよって条件を満たす範囲は $1<r<16$。2 つの平衡点は対称なので同じ条件。\n\n検算: $r=16$ のとき ${\lambda }^3+6{\lambda }^2+20\lambda +120=(\lambda +6)({\lambda }^2+20)$ で純虚数根 $\pm i\sqrt{20}$ をもつ（ホップ分岐点）。$r=2$: ${\lambda }^3+6{\lambda }^2+6\lambda +8$、$36>8$ で安定。