力学系・エルゴード理論の問題

$f(x,y)=x\left(1-\frac{x}{K}\right)-\frac{xy}{1+x}$, $g(x,y)=y\left(\frac{x}{1+x}-\frac{1}{3}\right)$ とおく。

1. 内部の平衡点。 $y>0$ で $g=0$ となるのは $\frac{x}{1+x}=\frac{1}{3}$、すなわち $x^{\ast }=\frac{1}{2}$ のとき。$x>0$ で $f=0$ より
$$y^{\ast }=\left(1-\frac{x^{\ast }}{K}\right)(1+x^{\ast })=\frac{3}{2}\left(1-\frac{1}{2K}\right)$$
$y^{\ast }>0$ となる条件は $K>\frac{1}{2}$。よって内部平衡点 $(x^{\ast },y^{\ast })$ が存在するのは $K>\frac{1}{2}$ のときで、そのときただ 1 つである。

2. ヤコビ行列。 偏微分すると
$$f_x=1-\frac{2x}{K}-\frac{y}{(1+x{)}^2},f_y=-\frac{x}{1+x},g_x=\frac{y}{(1+x{)}^2},g_y=\frac{x}{1+x}-\frac{1}{3}$$
平衡点では $g_y=0$ である。また $y^{\ast }=(1-x^{\ast }/K)(1+x^{\ast })$ を代入すると
$$f_x=1-\frac{2x^{\ast }}{K}-\frac{1-x^{\ast }/K}{1+x^{\ast }}=\frac{(1-2x^{\ast }/K)(1+x^{\ast })-(1-x^{\ast }/K)}{1+x^{\ast }}=\frac{x^{\ast }\left(K-1-2x^{\ast }\right)}{K(1+x^{\ast })}$$
$x^{\ast }=\frac{1}{2}$ を入れると
$$f_x=\frac{\frac{1}{2}(K-2)}{\frac{3}{2}K}=\frac{K-2}{3K}$$
よってヤコビ行列 $J$ について
$$\mathrm{tr}J=\frac{K-2}{3K},\det J=-f_y{g}_x=\frac{x^{\ast }}{1+x^{\ast }}\cdot \frac{y^{\ast }}{(1+x^{\ast }{)}^2}=\frac{1}{3}\cdot \frac{4}{9}{y}^{\ast }>0$$
（$K>\frac{1}{2}$ より $y^{\ast }>0$）。

3. 固有値の実部の符号。 $2\times 2$ 行列の固有値 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ は ${\lambda }^2-(\mathrm{tr}J)\lambda +\det J=0$ の解で、${\lambda }_1{\lambda }_2=\det J$, ${\lambda }_1+{\lambda }_2=\mathrm{tr}J$。$\det J>0$ のもとでは、両方の実部が負であることと $\mathrm{tr}J<0$ は同値である（実数解なら同符号、虚数解なら実部 $=\frac{1}{2}\mathrm{tr}J$）。

$\mathrm{tr}J<0⟺K<2$（$K>0$ より）。

以上より、求める範囲は $\frac{1}{2}<K<2$。

（補足: $K=2$ で $\mathrm{tr}J=0$, $\det J>0$ となり、純虚数の固有値の組が虚軸を横切る。$\frac{d}{dK}\mathrm{tr}J=\frac{2}{3K^2}>0$ なので、$K=2$ はホップ分岐の値である。$K=2$ では固有値の実部は $0$ なので範囲に含まれない。）

第 2 式より $y>0$ のとき $\frac{x}{1+x}=\frac{1}{3}$、すなわち $x^{\ast }=\frac{1}{2}$。第 1 式より $x>0$ のとき $1-\frac{x}{K}=\frac{y}{1+x}$ なので $y^{\ast }=\left(1-\frac{x^{\ast }}{K}\right)(1+x^{\ast })=\frac{3}{2}\left(1-\frac{1}{2K}\right)$。$y^{\ast }>0$ となる条件は $K>\frac{1}{2}$（これが内部平衡点の存在条件）。

ヤコビ行列を求める。$F(x,y)=1-\frac{x}{K}-\frac{y}{1+x}$ とおくと $\dot{x}=xF$。平衡点で $F=0$ なので
$J_{11}=x{F}_x=x\left(-\frac{1}{K}+\frac{y}{(1+x{)}^2}\right)$, $J_{12}=-\frac{x}{1+x}=-\frac{1}{3}$, $J_{21}=\frac{y}{(1+x{)}^2}$, $J_{22}=\frac{x}{1+x}-\frac{1}{3}=0$。

$\det J=-J_{12}{J}_{21}=\frac{1}{3}\cdot \frac{y^{\ast }}{(1+x^{\ast }{)}^2}>0$（$K>\frac{1}{2}$ のもとで常に正）。よって固有値の実部がすべて負 $⟺\mathrm{tr}J<0⟺J_{11}<0$。

$\frac{y^{\ast }}{(1+x^{\ast }{)}^2}=\frac{1-\frac{1}{2K}}{3/2}=\frac{2}{3}-\frac{1}{3K}$ だから
$J_{11}=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{K}+\frac{2}{3}-\frac{1}{3K}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}-\frac{4}{3K}\right)=\frac{1}{3}\left(1-\frac{2}{K}\right)$。

$J_{11}<0⟺K<2$。したがって条件は $\frac{1}{2}<K<2$。

検算: $K=1$ では $x^{\ast }=\frac{1}{2}$, $y^{\ast }=\frac{3}{4}$, $J_{11}=-\frac{1}{3}<0$, $\det =\frac{1}{3}\cdot \frac{3/4}{9/4}=\frac{1}{9}>0$ で安定。$K=3$ では $J_{11}=\frac{1}{3}\left(1-\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{9}>0$ で不安定（ホップ分岐が $K=2$、これは捕食者の無限小の等傾斜線の山の頂点 $x=(K-1)/2=x^{\ast }$ と一致）。