数理モデルの問題

手順 1：平衡点を求める。
平衡点は $\frac{dx}{dt}=0$ かつ $\frac{dy}{dt}=0$ を満たす点である。
$$2-(b+1)x+x^{2}y=0(1),bx-x^{2}y=0(2)$$
$(2)$ より $x(b-xy)=0$。$x=0$ とすると $(1)$ は $2=0$ となり不合理なので $x\ne 0$、よって $xy=b$、すなわち $x^{2}y=bx$。これを $(1)$ に代入すると
$$2-(b+1)x+bx=2-x=0$$
より $x=2$、$y=\frac{b}{x}=\frac{b}{2}$。平衡点は $\left(2,\frac{b}{2}\right)$ のただ 1 つである。

手順 2：ヤコビ行列を求める（線形化）。
$f(x,y)=2-(b+1)x+x^{2}y$, $g(x,y)=bx-x^{2}y$ とおくと
$$f_x=-(b+1)+2xy,f_y=x^2,g_x=b-2xy,g_y=-x^2.$$
平衡点では $x=2$, $xy=b$ なので
$$f_x=-(b+1)+2b=b-1,f_y=4,g_x=b-2b=-b,g_y=-4.$$
よってヤコビ行列は
$$J=\left(\begin{array}{cc}b-1& 4\\ -b& -4\end{array}\right).$$

手順 3：トレースと行列式から固有値を調べる。
$$\mathrm{tr}J=(b-1)+(-4)=b-5,\det J=(b-1)(-4)-4\cdot (-b)=-4b+4+4b=4.$$
特性方程式は ${\lambda }^2-(\mathrm{tr}J)\lambda +\det J=0$、すなわち
$${\lambda }^2-(b-5)\lambda +4=0.$$
固有値が純虚数 $\pm i\omega$ となるのは、$\lambda$ の 1 次の係数が 0（トレースが 0）で、かつ $\det J>0$ のときである。$\det J=4>0$ はつねに成り立つので、$b-5=0$ より $b=5$。このとき ${\lambda }^2+4=0$ から $\lambda =\pm 2i$ となり、$\omega =\sqrt{\det J}=2$。

（参考：$\det J>0$ なので、$0<b<5$ では $\mathrm{tr}J<0$ で固有値の実部がともに負となり平衡点は漸近安定、$b>5$ では $\mathrm{tr}J>0$ で不安定になる。$b=5$ がその境目である。）

したがって $(b,\omega )=(5,2)$。

これはブラッセレーターで、パラメータは A=2 の場合にあたる。

平衡点を求める。$dy/dt=0$ より $x(b-xy)=0$。
- $x=0$ とすると $dx/dt=2\ne 0$ なので不適。
- したがって $y=b/x$。これを $dx/dt=0$ に代入すると $2-(b+1)x+bx=2-x=0$ となり、$x=2$、$y=b/2$。

ヤコビ行列を求める。
- $f=2-(b+1)x+x^{2}y$、$g=bx-x^{2}y$ とおく。
- $f_x=-(b+1)+2xy$、$f_y=x^2$、$g_x=b-2xy$、$g_y=-x^2$。
- $(2,b/2)$ では $xy=b$ なので、$f_x=-(b+1)+2b=b-1$、$f_y=4$、$g_x=b-2b=-b$、$g_y=-4$。
- よって $J=\left(\begin{array}{cc}b-1& 4\\ -b& -4\end{array}\right)$。

固有値の条件を調べる。
- $\mathrm{tr}J=b-5$、$\det J=-4(b-1)+4b=4$。
- 固有値が純虚数 $\pm i\omega$ となる条件は、$\mathrm{tr}=0$ かつ $\det >0$。
- $\mathrm{tr}=0$ より $b=5$。このとき $\det =4>0$ である。
- 特性方程式は ${\lambda }^2+4=0$ なので $\lambda =\pm 2i$、すなわち $\omega =2$。

検算として、$b=5$ のとき $J=\left(\begin{array}{cc}4& 4\\ -5& -4\end{array}\right)$。トレースは $0$、行列式は $-16+20=4$ となり、固有値 $\pm 2i$ と一致する。

答えは $(b,\omega )=(5,2)$。