数理モデルの問題

$f(x)=-x^3+6x^2-8x$ とおきます。$\frac{dx}{dt}=f(x)$ の平衡点 $x^{\ast }$ は $f(x^{\ast })=0$ を満たす点です。平衡点 $x^{\ast }$ で $f^{\prime }(x^{\ast })<0$ なら漸近安定、$f^{\prime }(x^{\ast })>0$ なら不安定と判定します。

手順 1：平衡点を求める。
$$f(x)=-x(x^2-6x+8)=-x(x-2)(x-4)$$
と因数分解できます。よって $f(x)=0$ の解は $x=0,2,4$ で、平衡点は $x^{\ast }=0,2,4$ の 3 つです。

手順 2：導関数を求める。
$$f^{\prime }(x)=-3x^2+12x-8$$

手順 3：各平衡点で $f^{\prime }(x^{\ast })$ の符号を調べる。
- $x^{\ast }=0$：$f^{\prime }(0)=-8<0$ なので漸近安定です。
- $x^{\ast }=2$：$f^{\prime }(2)=-12+24-8=4>0$ なので不安定です。
- $x^{\ast }=4$：$f^{\prime }(4)=-48+48-8=-8<0$ なので漸近安定です。

(確認) $f(x)$ の符号を調べると、$0<x<2$ で $f(x)<0$、$2<x<4$ で $f(x)>0$、$x>4$ で $f(x)<0$、$x<0$ で $f(x)>0$ です。したがって $x=0$ と $x=4$ には両側から近づき、$x=2$ からは離れていきます。これは上の判定と一致します。

よって、漸近安定な平衡点は $\{0,4\}$ です。

$f(x)=-x^3+6x^2-8x=-x(x^2-6x+8)=-x(x-2)(x-4)$ より、平衡点は $x=0,2,4$ である。
$f^{\prime }(x)=-3x^2+12x-8$ を各平衡点で評価する。
- $x=0$: $f^{\prime }(0)=-8<0$ なので漸近安定。
- $x=2$: $f^{\prime }(2)=-12+24-8=4>0$ なので不安定。
- $x=4$: $f^{\prime }(4)=-48+48-8=-8<0$ なので漸近安定。
検算: $f=-x(x-2)(x-4)$ の符号は、$x<0$ で正、$0<x<2$ で負、$2<x<4$ で正、$x>4$ で負。したがって 0 の左は増加、右は減少で 0 に向かい安定。2 の左は減少、右は増加で 2 から離れ不安定。4 の左は増加、右は減少で 4 に向かい安定。線形化の結果と一致する。
よって答えは $\{0,4\}$ である。