数理モデルの問題

1. 変数分離する。 この方程式は $r=2$、$K=100$ のロジスティック方程式である。
$$\frac{dx}{dt}=2x\cdot \frac{100-x}{100}=\frac{2x(100-x)}{100}$$
と書き直す。初期値 $x(0)=20$ は $0$ と $100$ の間にあり、解はこの範囲にとどまるので $0<x<100$ として、両辺を $\frac{x(100-x)}{100}$ で割ると
$$\frac{100}{x(100-x)}\frac{dx}{dt}=2$$
となる。

2. 部分分数分解する。
$$\frac{100}{x(100-x)}=\frac{1}{x}+\frac{1}{100-x}$$
（右辺を通分すると $\frac{(100-x)+x}{x(100-x)}=\frac{100}{x(100-x)}$ となり、確かに等しい。）

3. 両辺を $t$ で積分する。
$$\int \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{100-x}\right)dx=\int 2dt$$
$$\log x-\log (100-x)=2t+c(c\text{ は積分定数})$$
ここで $0<x<100$ なので絶対値は不要である。左辺をまとめると
$$\log \frac{x}{100-x}=2t+c,\frac{x}{100-x}=A{e}^{2t}(A=e^c)$$

4. 初期条件で定数を決める。 $t=0$ で $x=20$ だから $A=\frac{20}{80}=\frac{1}{4}$。よって $\frac{x}{100-x}=\frac{1}{4}{e}^{2t}$。これを $x$ について解く。
$$4x=(100-x)e^{2t}⟹x\left(4+e^{2t}\right)=100e^{2t}⟹x=\frac{100e^{2t}}{4+e^{2t}}$$
分母と分子を $e^{2t}$ で割ると
$$x(t)=\frac{100}{1+4e^{-2t}}$$
となる。これは公式 $x(t)=\frac{K}{1+C{e}^{-rt}}$ で $C=\frac{K-x(0)}{x(0)}=\frac{80}{20}=4$ とした形になっている。

5. $x(t)=50$ となる時刻を求める。
$$\frac{100}{1+4e^{-2t}}=50⟹1+4e^{-2t}=2⟹e^{-2t}=\frac{1}{4}⟹e^{2t}=4$$
両辺の自然対数をとると $2t=\log 4=2\log 2$ である。

したがって、求める時刻は $t=\log 2$ である。

ロジスティック方程式 $x^{\prime }=2x(1-x/100)$ で、$r=2$、$K=100$。解は $x(t)=\frac{K}{1+C{e}^{-rt}}$ の形。
$x(0)=20$ より $100/(1+C)=20$、$1+C=5$、$C=4$。したがって $x(t)=\frac{100}{1+4e^{-2t}}$。

$x(t)=50$ とすると $1+4e^{-2t}=2$、$e^{-2t}=\frac{1}{4}$、$2t=\log 4$、$t=\frac{\log 4}{2}=\log 2$。

検算: $t=\log 2$ のとき $e^{-2t}=1/4$ なので $x=100/(1+1)=50$。また、$x(0)=100/5=20$ で初期条件を満たす。微分方程式の確認: $x=100/(1+4e^{-2t})$ のとき $x^{\prime }=100\cdot 8e^{-2t}/(1+4e^{-2t}{)}^2$。一方 $2x(1-x/100)=2x\cdot \frac{4e^{-2t}}{1+4e^{-2t}}=\frac{800e^{-2t}}{(1+4e^{-2t}{)}^2}$。一致する。

答え: $x(t)=\frac{100}{1+4e^{-2t}}$、$t=\log 2$。