ロジスティック方程式の解

$\frac{d x}{d t} = r x (1 - \frac{x}{K})$ を部分分数分解と変数分離で解いて $x (t) = \frac{K}{1 + C e ^{- r t}}$ を求め、 $x (t)$ が指定の値（例: $\frac{K}{2}$ ）に達する時刻を求められる

前提

変数分離形（大学数学微分方程式）

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算数中学高校大学大学院

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変数分離形（大学数学微分方程式）

説明

ロジスティック方程式 $\frac{d x}{d t} = r x (1 - \frac{x}{K})$ （ $r > 0, K > 0$ は定数）は、個体数などが最初は指数関数的に増え、上限 $K$ に近づくと増え方が鈍る様子を表します。この技能では、部分分数分解と変数分離を使ってこの方程式を解き、 $x (t) = \frac{K}{1 + C e ^{- r t}}$ という形の解を求めます。さらに、 $x (t)$ が指定の値（たとえば上限の半分 $\frac{K}{2}$ ）に達する時刻を、対数を使って求められるようになります。人口・細菌の増殖・噂や新製品の普及などのモデルで使います。

なぜそうしてよいのか

右辺を $x$ だけの関数とみると $\frac{d x}{d t} = \frac{r}{K} x (K - x)$ なので、これは変数分離形です。まず $x \equiv 0$ と $x \equiv K$ は右辺が常に 0 になるので、そのまま解（定数解）です。それ以外の解では $x \neq = 0, x \neq = K$ として両辺を $x (K - x)$ で割り、 $\frac{K}{x ( K - x )} d x = r d t$ と変数を分けられます。左辺の分数は部分分数分解で $\frac{K}{x ( K - x )} = \frac{1}{x} + \frac{1}{K - x}$ と分けられ（右辺を通分すると分子が $(K - x) + x = K$ になることで確かめられます）、どちらも対数で積分できます。

積分すると $lo g ∣ x ∣ - lo g ∣ K - x ∣ = r t + c$ となり、まとめると $\frac{x}{K - x} = e^{c} e^{r t}$ です。つまり、比 $\frac{x}{K - x}$ （すでに増えた分と、上限までの残りの比）が指数関数 $e^{r t}$ に比例して変化する、というのがロジスティック方程式の正体です。解は連続で、 $x \neq = 0, K$ のままなので $\frac{x}{K - x}$ の符号は変わらず、絶対値を外して $\frac{x}{K - x} = A e^{r t}$ （ $A \neq = 0$ は定数）と書けます。これを $x$ について解くと $x = \frac{K}{1 + C e ^{- r t}}$ （ $C = \frac{1}{A}$ ）が得られます。

$t = 0$ を代入すると $x (0) = \frac{K}{1 + C}$ なので、初期値 $x_{0}$ （ $x_{0} \neq = 0, K$ ）から $C = \frac{K - x _{0}}{x _{0}}$ と決まります。 $0 < x_{0} < K$ なら $C > 0$ で、 $t \to \infty$ のとき $e^{- r t} \to 0$ より $x (t) \to K$ となり、上限 $K$ に近づく様子が式から読み取れます。指定の値 $a$ に達する時刻は、 $\frac{K}{1 + C e ^{- r t}} = a$ を $e^{- r t}$ について解き、対数をとれば求まります。

手順

定数解 $x \equiv 0, x \equiv K$ を確認し、それ以外の解では $x \neq = 0, x \neq = K$ として扱う。初期値 $x (0) = x_{0}$ が $0$ や $K$ ならその定数解が答え。
変数を分離し、部分分数分解する: $\frac{K}{x ( K - x )} d x = r d t$ 、 $\frac{K}{x ( K - x )} = \frac{1}{x} + \frac{1}{K - x}$
両辺を積分する: $lo g ∣ x ∣ - lo g ∣ K - x ∣ = r t + c$ （ $c$ は積分定数）。
$x$ について解き、一般解 $x (t) = \frac{K}{1 + C e ^{- r t}}$ を得る。初期条件から $C = \frac{K - x _{0}}{x _{0}}$ と定める。
$x (t) = a$ とおいて $C e^{- r t} = \frac{K}{a} - 1$ を $t$ について解く: $t = \frac{1}{r} lo g \frac{C a}{K - a}$ 。特に $a = \frac{K}{2}$ なら $t = \frac{l o g C}{r}$ 。

例題

$x (t)$ が $\frac{d x}{d t} = \frac{1}{2} x (1 - \frac{x}{1000})$ 、 $x (0) = 100$ を満たすとき、 $x (t) = 500$ となる時刻 $t$ を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $x (0) = 100$ は $0$ でも $1000$ でもないので、定数解ではない。 $x \neq = 0, 1000$ として扱う。
【手順 2】 $\frac{d x}{d t} = \frac{1}{2000} x (1000 - x)$ より $\frac{1000}{x ( 1000 - x )} d x = \frac{1}{2} d t$ 。部分分数分解して $(\frac{1}{x} + \frac{1}{1000 - x}) d x = \frac{1}{2} d t$ 。
【手順 3】積分して $lo g ∣ x ∣ - lo g ∣1000 - x ∣ = \frac{1}{2} t + c$ 。
【手順 4】 $\frac{x}{1000 - x} = A e^{t /2}$ と書け、 $x$ について解くと $x (t) = \frac{1000}{1 + C e ^{- t /2}}$ 。 $x (0) = \frac{1000}{1 + C} = 100$ より $C = 9$ 。よって $x (t) = \frac{1000}{1 + 9 e ^{- t /2}}$ 。
【手順 5】 $\frac{1000}{1 + 9 e ^{- t /2}} = 500$ とおくと $1 + 9 e^{- t /2} = 2$ 、すなわち $e^{- t /2} = \frac{1}{9}$ 。両辺の対数をとって $- \frac{t}{2} = - lo g 9$ 、よって $t = 2 lo g 9 = 4 lo g 3$ 。（ $500 = \frac{K}{2}$ なので公式 $t = \frac{l o g C}{r} = \frac{l o g 9}{1/2}$ とも一致する。）

答え: $4 lo g 3$

よくある誤り

部分分数分解で $\frac{K}{x ( K - x )} = \frac{1}{x} - \frac{1}{K - x}$ と符号を誤る誤り。正しくは $\frac{K}{x ( K - x )} = \frac{1}{x} + \frac{1}{K - x}$ （通分して分子が $(K - x) + x = K$ になることで確認できる）。
$\int \frac{1}{K - x} d x = lo g ∣ K - x ∣$ としてしまう誤り。 $K - x$ の微分が $- 1$ なので、正しくは $\int \frac{1}{K - x} d x = - lo g ∣ K - x ∣ + c$ 。
初期条件から $C = \frac{x _{0}}{K - x _{0}}$ と逆にしてしまう誤り。正しくは $x (0) = \frac{K}{1 + C} = x_{0}$ を解いて $C = \frac{K - x _{0}}{x _{0}}$ （例: $K = 1000, x_{0} = 100$ なら $C = 9$ ）。
積分定数を最後に足して $x = \frac{K}{1 + e ^{- r t}} + C$ としてしまう誤り。積分定数は $lo g ∣ x ∣ - lo g ∣ K - x ∣ = r t + c$ の段階で入り、指数をとると $e^{c}$ という掛け算の定数になるので、正しくは $x = \frac{K}{1 + C e ^{- r t}}$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

ロジスティック方程式の解

前提

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