数理モデルの問題

1. 変数分離する。
$$\frac{dx}{dt}=2x\left(1-\frac{x}{100}\right)=\frac{2x(100-x)}{100}$$
より
$$\frac{100}{x(100-x)}dx=2dt$$
となる。

2. 左辺を部分分数に分ける。
$$\frac{100}{x(100-x)}=\frac{1}{x}+\frac{1}{100-x}$$
（右辺を通分すると $\frac{(100-x)+x}{x(100-x)}=\frac{100}{x(100-x)}$ となり、確かに一致する。）

3. 両辺を積分する。
$$\int \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{100-x}\right)dx=\int 2dt$$
$$\log |x|-\log |100-x|=2t+c(c\text{ は積分定数})$$
$0<x<100$ なので絶対値ははずせて
$$\log \frac{x}{100-x}=2t+c$$

4. 初期条件で定数を決める。
$t=0$ で $x=20$ だから $c=\log \frac{20}{80}=\log \frac{1}{4}$。よって
$$\frac{x}{100-x}=\frac{1}{4}{e}^{2t}$$
これを $x$ について解く。$\frac{100-x}{x}=4e^{-2t}$ より $\frac{100}{x}-1=4e^{-2t}$ だから
$$x(t)=\frac{100}{1+4e^{-2t}}$$
これは $x(t)=\frac{K}{1+C{e}^{-rt}}$ で $K=100,r=2,C=\frac{K-x(0)}{x(0)}=\frac{100-20}{20}=4$ とした形になっている。

5. $x(t)=50$ となる時刻を求める。
$$\frac{100}{1+4e^{-2t}}=50⟺1+4e^{-2t}=2⟺e^{-2t}=\frac{1}{4}$$
両辺の自然対数をとると $-2t=-\log 4$ なので
$$t=\frac{\log 4}{2}=\frac{2\log 2}{2}=\log 2$$

答え: $t=\log 2$

ロジスティック方程式 $\frac{dx}{dt}=2x(1-x/100)$ を変数分離で解く。$\frac{dx}{x(1-x/100)}=2dt$ で、$\frac{1}{x(1-x/100)}=\frac{100}{x(100-x)}=\frac{1}{x}+\frac{1}{100-x}$ と部分分数分解できる。$0<x<100$ なので積分すると $\log \frac{x}{100-x}=2t+C$。初期条件 $x(0)=20$ より $C=\log \frac{20}{80}=\log \frac{1}{4}=-\log 4$。よって $\frac{x}{100-x}=\frac{1}{4}{e}^{2t}$。$x=50$ のとき左辺は $1$ なので $e^{2t}=4$、$2t=\log 4$、$t=\log 2$。
検算：$t=\log 2$ のとき $e^{2t}=4$ だから $\frac{x}{100-x}=1$ で $x=50$。また $x=\frac{100e^{2t}/4}{1+e^{2t}/4}=\frac{100}{1+4e^{-2t}}$ に $t=0$ を代入すると $100/5=20$ で初期条件を満たす。$t=\log 2$ では $100/(1+1)=50$ となり一致する。