数理モデルの問題

方針: 平衡点は $\frac{dx}{dt}=0$ となる $x$ である。一定量の漁獲 $h$ を引いたモデルでは、平衡点の条件は「成長量 $g(x)=\frac{3}{5}x\left(1-\frac{x}{50}\right)$ が漁獲量 $h$ と等しい」ことになる。

平衡点の方程式: $f(x)=\frac{3}{5}x\left(1-\frac{x}{50}\right)-h=0$ を整理すると
$$\frac{3}{5}x-\frac{3}{250}{x}^2-h=0.$$
両辺に $-\frac{250}{3}$ を掛けて
$$x^2-50x+\frac{250}{3}h=0.$$

実数解をもつ条件: 判別式を $D$ とすると
$$\frac{D}{4}=25^2-\frac{250}{3}h=625-\frac{250}{3}h.$$
平衡点が存在するのは $\frac{D}{4}\geqq 0$、すなわち
$$h\leqq 625\cdot \frac{3}{250}=\frac{15}{2}$$
のときである。このとき 2 つの解の和は $50>0$、積は $\frac{250}{3}h\geqq 0$ なので、$h>0$ なら 2 解とも正、$h=0$ でも $x=50$ は正である。よって正の平衡点が存在する条件は $0\leqq h\leqq \frac{15}{2}$ である。

別の見方（平方完成）: $g(x)=-\frac{3}{250}(x-25{)}^2+\frac{15}{2}$ なので、成長量の最大値は $x=25$ のとき $\frac{15}{2}$ である。$h$ がこれを超えると $g(x)=h$ となる $x$ がなくなり、平衡点が消える。

参考: $0<h<\frac{15}{2}$ のとき平衡点は $x=25\pm \sqrt{625-\frac{250}{3}h}$ で、$f^{\prime }(x)=\frac{3}{5}-\frac{3}{125}x$ は $x>25$ で負なので、大きいほうの $x^{\ast }(h)=25+\sqrt{625-\frac{250}{3}h}$ が安定な平衡点である。$h=\frac{15}{2}$ では 2 つの平衡点が $x=25$ で重なり、それより大きい $h$ では平衡点がなくなる。

したがって求める最大値は $h=\frac{15}{2}$（千トン/年）である。

平衡点は $\frac{3}{5}x(1-\frac{x}{50})=h$ の解である。左辺を $f(x)=\frac{3}{5}x-\frac{3}{250}{x}^2$ とおく。

$f(x)$ は上に凸の放物線で、$x=25$ で最大値 $f(25)=\frac{3}{5}\cdot 25-\frac{3}{250}\cdot 625=15-7.5=\frac{15}{2}$ をとる。

$h\geqq 0$ のとき、$f(x)=h$ が正の解をもつ条件を調べる。$h=0$ では解は $x=0$ と $x=50$ で、$x=50>0$ が正の解になる。$0<h\leqq \frac{15}{2}$ では 2 次方程式 $3x^2-150x+250h=0$ の判別式 $150^2-4\cdot 3\cdot 250h=22500-3000h\geqq 0$ から $h\leqq \frac{15}{2}$ となる。このとき解の和は 50、積は $\frac{250h}{3}>0$ なので、2 解はともに正である。

$h>\frac{15}{2}$ では実数解がない。

よって $h$ の最大値は $\frac{15}{2}$ である（このとき $x^{\ast }=25$）。

検算: $h=\frac{15}{2}$, $x=25$ を代入すると $\frac{3}{5}\cdot 25\cdot \frac{1}{2}-\frac{15}{2}=\frac{15}{2}-\frac{15}{2}=0$ となり、平衡点であることが確認できる。