数理モデルの問題

ある魚の個体数（単位: 千匹）を $x(t)$（$t\geqq 0$ は時刻、単位は年）とする。この魚はロジスティック成長をし、さらに毎年一定量が漁獲されるとして、$x(t)$ が微分方程式
$$\frac{dx}{dt}=x\left(1-\frac{x}{12}\right)-\frac{5}{3}$$
に従うとする（$x\geqq 0$ の範囲で考える）。

$f(x)=x\left(1-\frac{x}{12}\right)-\frac{5}{3}$ とおく。この微分方程式の平衡点（$f(x^{\ast })=0$ を満たす $x^{\ast }$）のうち、線形化による判定で漸近安定であるものを $x^{\ast }$ とするとき、$x^{\ast }$ と $f^{\prime }(x^{\ast })$ の値をこの順に組 $(x^{\ast },f^{\prime }(x^{\ast }))$ で求めよ。

ある湖の魚の個体数（単位: 千匹）を $x(t)$（$t\geqq 0$ は時刻、単位は年）とする。この魚はロジスティック成長をし、さらに毎年一定量 $h$（単位: 千匹/年、$h>0$ は定数）が漁獲されるとして、$x(t)$ は微分方程式
$$\frac{dx}{dt}=2x\left(1-\frac{x}{50}\right)-h$$
に従うとする。この微分方程式が平衡点（$\frac{dx}{dt}=0$ となる定数解 $x=x^{\ast }$、$x^{\ast }$ は実数）をもつような $h$ の最大値を求めよ。

ある海域の魚の資源量（単位: 千トン）を $x(t)$（$t\geqq 0$ は時刻、単位は年）とする。この魚はロジスティック成長をし、さらに毎年一定量 $h$（千トン/年）が漁獲されるとして、$x(t)$ が微分方程式
$$\frac{dx}{dt}=\frac{3}{5}x\left(1-\frac{x}{50}\right)-h$$
に従うとする。ここで $h$ は $0$ 以上の実数の定数である。このモデルが正の平衡点（$x^{\ast }>0$ かつ $\frac{dx}{dt}=0$ となる $x^{\ast }$）をもつような $h$ の最大値を求めよ。

ある森林に生息するシカの個体数（単位: 百頭）を $x(t)$（$t\geqq 0$ は時刻、単位は年）とする。シカはロジスティック成長をし、さらに毎年一定量 $h$（単位: 百頭/年、$h>0$ は定数）が捕獲されるとして、$x(t)$ が微分方程式
$$\frac{dx}{dt}=\frac{2}{5}x\left(1-\frac{x}{30}\right)-h$$
に従うとする。このモデルが平衡点（$\frac{dx}{dt}=0$ となる実数 $x$）をもつような $h$ の最大値 $h_c$ を求めよ。

ある動物の個体数密度を $x(t)$（$t\geqq 0$ は時刻）とする。個体数が少なすぎると繁殖相手が見つかりにくくなる効果（アリー効果）を取り入れて、$x(t)$ が微分方程式
$$\frac{dx}{dt}=\frac{1}{20}x(x-2)(10-x)$$
に従うとする。ここで $x$ は 0 以上の実数とする。

この微分方程式の $x\geqq 0$ における平衡点のうち、漸近安定なものをすべて求めよ。