数理モデルの問題

$f(x)=-x^3+3x^2+x-3$ とおくと、微分方程式は $\frac{dx}{dt}=f(x)$ という 1 変数の自励系である。

手順 1：平衡点を求める。
平衡点 $x^{\ast }$ は $f(x^{\ast })=0$ を満たす点である。$f(1)=-1+3+1-3=0$ なので、因数定理より $f(x)$ は $x-1$ を因数にもつ。実際に因数分解すると
$$f(x)=-(x^3-3x^2-x+3)=-\{x^2(x-3)-(x-3)\}=-(x-3)(x^2-1)=-(x+1)(x-1)(x-3)$$
となる。よって平衡点は $x^{\ast }=-1,1,3$ の 3 つである。

手順 2：$f^{\prime }(x)$ を求める。
$$f^{\prime }(x)=-3x^2+6x+1$$

手順 3：各平衡点で $f^{\prime }(x^{\ast })$ の符号を調べる。
- $x^{\ast }=-1$：$f^{\prime }(-1)=-3-6+1=-8<0$ なので漸近安定。
- $x^{\ast }=1$：$f^{\prime }(1)=-3+6+1=4>0$ なので不安定。
- $x^{\ast }=3$：$f^{\prime }(3)=-27+18+1=-8<0$ なので漸近安定。

（理由：平衡点の近くで $x=x^{\ast }+y$ とおくと $f(x^{\ast })=0$ より $\frac{dy}{dt}\approx f^{\prime }(x^{\ast })y$ となり、$f^{\prime }(x^{\ast })<0$ ならずれ $y$ は指数的に 0 に近づき、$f^{\prime }(x^{\ast })>0$ なら増大するからである。）

したがって、漸近安定な平衡点は $x^{\ast }=-1,3$ である。

右辺を $f(x)=-x^3+3x^2+x-3$ とおく。因数分解すると $f(x)=-x^2(x-3)+(x-3)=-(x-3)(x^2-1)=-(x-3)(x-1)(x+1)$。よって平衡点は $x=-1,1,3$。

線形安定性解析のため $f^{\prime }(x)=-3x^2+6x+1$ を各平衡点で評価する。
- $x=-1$: $f^{\prime }(-1)=-3-6+1=-8<0$ なので漸近安定。
- $x=1$: $f^{\prime }(1)=-3+6+1=4>0$ なので不安定。
- $x=3$: $f^{\prime }(3)=-27+18+1=-8<0$ なので漸近安定。

検算として、符号を調べる。$x<-1$ では $f=-(負)(負)(負)=+$ となり右向き。$-1<x<1$ では $-(負)(負)(正)=-$ となり左向き。$1<x<3$ では $-(負)(正)(正)=+$ となり右向き。$x>3$ では $-(正)(正)(正)=-$ となり左向き。したがって $-1$ と $3$ は流れが集まる安定点で、$1$ は流れが離れる不安定点である。

よって答えは $x=-1,3$。