数理モデルの問題

正の定数 $\beta ,\gamma$ と正の実数 $S_0,I_0$ を考える。感染症の SIR モデルの方程式
$$\frac{dS}{dt}=-\beta SI,\frac{dI}{dt}=\beta SI-\gamma I(t\ge 0),S(0)=S_0,I(0)=I_0$$
を考える（$S(t)$ は感受性人口、$I(t)$ は感染人口を表す）。この初期値問題には $[0,\infty )$ 全体で定義された $C^1$ 級の実数値の解 $(S(t),I(t))$ が存在することは用いてよい。

この解について、極限 $S_{\infty }=\underset{t\to \infty }{\lim }S(t)$ と $\underset{t\to \infty }{\lim }I(t)$ がともに存在し、
$$\underset{t\to \infty }{\lim }I(t)=0,0<S_{\infty }<\frac{\gamma }{\beta }$$
が成り立つことを証明せよ。

正の定数 $r,K,H$ が $H<\frac{rK}{4}$ を満たすとし、一定量の捕獲をともなう個体群モデル
$$x^{\prime }(t)=rx(t)\left(1-\frac{x(t)}{K}\right)-H(1)$$
を考える。右辺 $f(x)=rx\left(1-\frac{x}{K}\right)-H$ の 2 つの零点を
$$p=\frac{K}{2}\left(1-\sqrt{1-\frac{4H}{rK}}\right),q=\frac{K}{2}\left(1+\sqrt{1-\frac{4H}{rK}}\right)$$
とおく（$0<p<q$）。

次の 2 つの事実は用いてよい。
- (A) 任意の実数 $x_0$ と $t_0$ に対し、$x(t_0)=x_0$ を満たす $(1)$ の解は（定義される範囲で）ただ 1 つである。
- (B) $(1)$ の解 $x(t)$ が、それが定義される $t\ge 0$ の範囲で有界閉区間に含まれ続けるならば、その解は $t\ge 0$ 全体に延長できる。

初期値 $x(0)=x_0$ が $x_0>p$ を満たすとき、$(1)$ の解は $t\ge 0$ 全体で定義されて $\underset{t\to \infty }{\lim }x(t)=q$ となることを証明せよ。

出生・死亡・移動のない閉じた集団を、人口の割合がともに $\frac{1}{2}$ である 2 つのグループ（グループ 1, グループ 2）に分ける。時刻 $t\geqq 0$ におけるグループ $j$ $(j=1,2)$ の感受性者・感染者・回復者の、人口全体に対する割合をそれぞれ $s_j(t)$, $i_j(t)$, $r_j(t)$ とする。これらは次の 2 グループ SIR モデルに従うとする。
$$\frac{d{s}_j}{dt}=-\beta c_j{s}_j(c_1{i}_1+c_2{i}_2),\frac{d{i}_j}{dt}=\beta c_j{s}_j(c_1{i}_1+c_2{i}_2)-\gamma i_j,\frac{d{r}_j}{dt}=\gamma i_j(j=1,2)$$
ここで $c_1=1$, $c_2=2$ は各グループの接触の活発さを表す定数であり、$\beta >0$, $\gamma >0$ は値の分からない定数である。初期条件は $s_j(0)+i_j(0)=\frac{1}{2}$, $r_j(0)=0$, $i_j(0)>0$ $(j=1,2)$ とし、初期の感染者の割合は無視できるほど小さいとして、$i_1(0),i_2(0)\to +0$ の極限で考える（すなわち、最終規模の関係式においては $s_j(0)=\frac{1}{2}$ とする）。また $t\to \infty$ で $i_j(t)\to 0$ となり、$s_j(t)$ は正の値 $s_j(\infty )$ に収束するものとする。

流行が終わった後の調査で、グループ 1 の人々のうちちょうど半数が一度も感染しなかったこと、すなわち $s_1(\infty )=\frac{1}{4}$ であることが分かった。このとき、感染のない平衡状態 $(s_1,s_2,i_1,i_2)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0,0\right)$ における次世代行列のスペクトル半径として定義される基本再生産数 $R_0$ を求めよ。

出生・死亡・移動のない閉じた集団で、ある感染症の流行を考える。時刻 $t\geqq 0$ における感受性者・感染者・免疫保持者（回復者とワクチン接種者）の人口全体に対する割合を、それぞれ $s(t)$, $i(t)$, $r(t)$ とする。これらは $s+i+r=1$ を満たし、正の定数 $\beta ,\gamma$ を用いた SIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{di}{dt}=\beta si-\gamma i,\frac{dr}{dt}=\gamma i$$
に従うとする。$\beta ,\gamma$ の値は分かっていない。

ある地域では、流行の前に人口の $\frac{2}{5}$ がワクチンを接種して免疫をもっていた（ワクチンの効果は完全で、接種者は $r$ に含める）。流行のはじめの感染者はごくわずかであり、以下の計算では $s(0)=\frac{3}{5}$, $i(0)=0$, $r(0)=\frac{2}{5}$ とみなしてよい。流行が終わった後（$t\to \infty$）の調査で、この流行の間に感染した人の割合は人口全体の $\frac{3}{10}$ であった。

この観測から基本再生産数 $R_0=\frac{\beta }{\gamma }$ を推定したうえで、同じ感染症（$\beta ,\gamma$ は同じ）が、ワクチン接種率 $p$（$0\leqq p<1$）の別の集団にごく少数の感染者から持ち込まれる場合を考える。この集団では $s(0)=1-p$ とみなし、${\frac{di}{dt}|}_{t=0}\leqq 0$、すなわち $\beta s(0)-\gamma \leqq 0$ となれば流行は起こらないとする。流行を起こさないために必要な接種率 $p$ の最小値を求めよ。

正の定数 $a,b,c,d$ に対し、ロトカ・ヴォルテラ方程式
$$x^{\prime }(t)=x(t)(a-by(t)),y^{\prime }(t)=y(t)(-c+dx(t))$$
を考える。$D=\{(x,y)\mid x>0,y>0\}$ とし、$D$ 上の関数
$$V(x,y)=dx-c\log x+by-a\log y$$
を定める。また $p=\frac{c}{d},q=\frac{a}{b}$ とおく。

区間 $J$ 上で定義された微分可能な解 $(x(t),y(t))$ で、すべての $t\in J$ について $(x(t),y(t))\in D$ を満たすものを考える。このとき、$V(x(t),y(t))$ は $t\in J$ によらず一定であり、さらに $D$ 上で $V(x,y)\ge V(p,q)$ が成り立ち、等号は $(x,y)=(p,q)$ のときに限ることを証明せよ。