数理モデルの問題

出生・死亡・移動のない閉じた集団での感染症の流行を、人口全体に対する割合で表した SIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{di}{dt}=\beta si-\gamma i,\frac{dr}{dt}=\gamma i$$
で記述する。ここで $s(t),i(t),r(t)$ はそれぞれ時刻 $t(t\ge 0)$ における感受性者・感染者・回復者（免疫をもつ者）の割合で $s+i+r=1$ を満たし、$\beta ,\gamma$ は正の定数（値は未知）である。基本再生産数を $R_0=\frac{\beta }{\gamma }$ とする。

観測. ある流行では、はじめ全員が感受性者で、ごく少数の感染者から流行が始まった。この流行を $s(0)=1-\epsilon$, $i(0)=\epsilon$, $r(0)=0$ とし $\epsilon \to +0$ の極限をとったものとみなす。流行が終息したとき（$t\to \infty$）、一度も感染しなかった人の割合は $s_{\infty }={\lim }_{t\to \infty }s(t)=\frac{1}{4}$ であった。

対策. 同じ感染症（$\beta ,\gamma$ は同じ）が、全員が感受性者である別の同様の集団に持ち込まれる前に、人口の割合 $p(0\le p\le 1)$ にワクチンを接種して免疫をもたせる（接種者ははじめから回復者に含める）。持ち込まれる感染者の割合は無視できるほど小さいとし、持ち込まれた直後の感受性者の割合は $s(0)=1-p$ とみなす（感染者の割合 $i(0)$ は正）。持ち込まれた直後に感染者の割合が増加しない（$t=0$ で $\frac{di}{dt}\le 0$ となる）ための $p$ の最小値を求めよ。

出生・死亡・移動のない閉じた集団で、ある感染症の流行を考える。時刻 $t\geqq 0$（単位: 日）における感受性者・感染者・免疫保持者の人口全体に対する割合をそれぞれ $s(t)$, $i(t)$, $r(t)$ とし、これらは SIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{di}{dt}=\beta si-\gamma i,\frac{dr}{dt}=\gamma i$$
に従うとする。ここで $\beta >0$ は感染率、$\gamma >0$ は回復率（単位はともに $1/\text{日}$）である。

流行の始まる前（$t=0$）に人口の割合 $p$ $(0\leqq p<1)$ にワクチンを接種し、接種者は確実に免疫をもつとする。初期の感染者はごくわずかで $i(0)>0$ とし、$s(0)=1-p$ とみなす。また、$t=0$ で $\frac{di}{dt}\leqq 0$ となるとき「流行が拡大しない」という。

この感染症では回復率が $\gamma =0.2$ であり、流行が拡大しないために必要なワクチン接種率の最小値が $p=\frac{3}{4}$ であることがわかっている。感染率 $\beta$ の値を求めよ。

出生・死亡・移動のない集団での感染症の流行を考える。時刻 $t\geqq 0$ における感受性者・感染者・回復者（免疫保持者を含む）の人口全体に対する割合をそれぞれ $s(t)$, $i(t)$, $r(t)$ とし、これらが SIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{di}{dt}=\beta si-\gamma i,\frac{dr}{dt}=\gamma i$$
に従うとする。ここで $\beta$, $\gamma$ は正の定数である。この集団では流行の開始前に人口の $\frac{1}{5}$ がすでに免疫をもっており、初期値を
$$s(0)=\frac{4}{5}-\epsilon ,i(0)=\epsilon ,r(0)=\frac{1}{5}(\epsilon >0)$$
とする。以下では $\epsilon \to +0$ の極限での値を考える。この極限で、流行の終息後の感受性者の割合 $\underset{t\to \infty }{\lim }s(t)$ が $\frac{1}{5}$ になるように基本再生産数 $R_0=\frac{\beta }{\gamma }$ が定まっているとする。このとき、流行中の感染者の割合の最大値 $\underset{t\geqq 0}{\max }i(t)$ の $\epsilon \to +0$ での極限を求めよ。

出生・死亡・移動のない閉じた集団で、ある感染症の流行を考える。時刻 $t\geqq 0$（単位: 日）における感受性者・感染者・回復者の人口全体に対する割合をそれぞれ $s(t)$, $i(t)$, $r(t)$ とし、これらは SIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{di}{dt}=\beta si-\gamma i,\frac{dr}{dt}=\gamma i$$
に従うとする（$\beta >0$, $\gamma >0$ は定数、$s+i+r=1$）。流行の初めの感染者はごくわずかなので、$s(0)=1$, $r(0)=0$ と近似してよい。また、十分時間がたつと流行は終わり、$i(t)\to 0$ となり、$s(t)$, $r(t)$ はそれぞれ $s_{\infty }$, $r_{\infty }$ に収束するものとする。

この感染症では $\gamma =\frac{1}{4}$（1 日あたり）であり、流行が終わった時点で人口全体の $75\%$ が感染を経験していた、すなわち $r_{\infty }=\frac{3}{4}$ であった。このとき、感染率 $\beta$（1 日あたり）の値を求めよ。

出生・死亡・移動のない閉じた集団で、ある感染症の流行を考える。時刻 $t\geqq 0$（単位: 日）における感受性者・感染者・回復者（免疫をもつ者を含む）の人口全体に対する割合をそれぞれ $s(t)$, $i(t)$, $r(t)$ とし（$s+i+r=1$）、これらが SIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{di}{dt}=\beta si-\gamma i,\frac{dr}{dt}=\gamma i$$
にしたがうとする。ここで $\beta =4\log 2$, $\gamma =1$ であり、単位はいずれも「1 日あたり」である。

流行が始まる前に、人口全体の半分にワクチンを接種した。ワクチンは完全に有効で、接種者ははじめから $r$ に含まれるとする。すなわち初期値は
$$s(0)=\frac{1}{2}-\epsilon ,i(0)=\epsilon ,r(0)=\frac{1}{2}(0<\epsilon <\frac{1}{2})$$
である。流行の終わり（$t\to \infty$）までに一度でも感染した人の人口全体に対する割合を $F(\epsilon )=i(0)+s(0)-\underset{t\to \infty }{\lim }s(t)$ とするとき、極限 $\underset{\epsilon \to +0}{\lim }F(\epsilon )$ を求めよ。