SIR モデルの最終規模方程式

出生・死亡・移動のない閉じた集団で、ある感染症の流行を考える。時刻 $t\geqq 0$（単位: 日）における感受性者・感染者・回復者の人口全体に対する割合をそれぞれ $s(t)$, $i(t)$, $r(t)$ とし、これらは SIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{di}{dt}=\beta si-\gamma i,\frac{dr}{dt}=\gamma i$$
に従うとする（$\beta >0$, $\gamma >0$ は定数、$s+i+r=1$）。流行の初めの感染者はごくわずかなので、$s(0)=1$, $r(0)=0$ と近似してよい。また、十分時間がたつと流行は終わり、$i(t)\to 0$ となり、$s(t)$, $r(t)$ はそれぞれ $s_{\infty }$, $r_{\infty }$ に収束するものとする。

この感染症では $\gamma =\frac{1}{4}$（1 日あたり）であり、流行が終わった時点で人口全体の $75\%$ が感染を経験していた、すなわち $r_{\infty }=\frac{3}{4}$ であった。このとき、感染率 $\beta$（1 日あたり）の値を求めよ。

出生・死亡・移動のない閉じた集団での感染症の流行を、人口全体に対する割合で表した SIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{di}{dt}=\beta si-\gamma i,\frac{dr}{dt}=\gamma i$$
で考える。ここで $t\geqq 0$ は時刻（単位: 日）、$s(t)$, $i(t)$, $r(t)$ はそれぞれ感受性者・感染者・回復者の割合で、$s+i+r=1$ を満たす。$\beta >0$ は感染率（単位: 1/日）、回復率は $\gamma =\frac{1}{5}$（単位: 1/日）で、どちらも定数である。

初期条件を $0<\epsilon <1$ として
$$s(0)=1-\epsilon ,i(0)=\epsilon ,r(0)=0$$
とする。このとき、すべての $t\geqq 0$ で $s(t)>0$, $i(t)>0$ であり、$t\to \infty$ で $i(t)\to 0$、$r(t)\to r_{\infty }(\epsilon )$ となるものとする（$r_{\infty }(\epsilon )$ は $\beta$ と $\epsilon$ によって決まる）。

$\beta$ を固定したまま初期の感染者の割合 $\epsilon$ を $0$ に近づけたとき、$\underset{\epsilon \to +0}{\lim }{r}_{\infty }(\epsilon )=\frac{4}{5}$ となった（ごくわずかな感染者から始まった流行で、最終的に人口の $80\%$ が感染を経験した）。このとき感染率 $\beta$ を求めよ。

出生・死亡・移動のない閉じた集団での、ある感染症の流行を考える。時刻 $t\geqq 0$（単位: 日）における感受性者・感染者・回復者の人口全体に対する割合を $s(t)$, $i(t)$, $r(t)$ とする。これらは SIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{di}{dt}=\beta si-\gamma i,\frac{dr}{dt}=\gamma i$$
に従うとする。ここで $\beta >0$, $\gamma >0$ は定数であり、$s+i+r=1$ が常に成り立つ。

初期値は
$$s(0)=\frac{99}{100},i(0)=\frac{1}{100},r(0)=0$$
である。また、$t\to \infty$ のとき $s(t)$, $r(t)$ はそれぞれ極限値 $s_{\infty }$, $r_{\infty }$ に収束し、$i(t)\to 0$ となるものとする。

この感染症の平均感染期間は $5$ 日で、$\gamma =\frac{1}{5}$（$1/\text{日}$）である。流行が終わったとき $r_{\infty }=\frac{3}{4}$ であった。このとき、感染率 $\beta$（$1/\text{日}$）の値を求めよ。

ある閉じた集団（出生・死亡・移動はないとする）での感染症の流行を、人口全体に対する割合で表した SIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{di}{dt}=\beta si-\gamma i,\frac{dr}{dt}=\gamma i$$
で表す。ここで $s(t)$, $i(t)$, $r(t)$ はそれぞれ時刻 $t$（単位は日）における感受性者・感染者・回復者の割合で、$s+i+r=1$ を満たし、$\beta >0$, $\gamma >0$ は定数である。

感染者は平均 $5$ 日で回復する（$\gamma =\frac{1}{5}$）とする。流行の始まりでは、ほぼ全員が感受性者であり $s(0)=1$, $r(0)=0$ とみなしてよい。流行が終息した（$t\to \infty$ で $i(t)\to 0$ となった）とき、人口の $\frac{3}{4}$ が感染を経験していた（$r(\infty )=\frac{3}{4}$）。このとき、感染率 $\beta$（単位は $1/$日）の値を求めよ。

正の定数 $N,\beta ,\gamma$ に対し、SIR モデル
$$S^{\prime }(t)=-\frac{\beta }{N}S(t)I(t),I^{\prime }(t)=\frac{\beta }{N}S(t)I(t)-\gamma I(t),R^{\prime }(t)=\gamma I(t)$$
を初期条件 $S(0)=S_0,I(0)=I_0,R(0)=0$（ただし $S_0>0,I_0>0,S_0+I_0=N$）のもとで考え、基本再生産数を $R_0=\frac{\beta }{\gamma }$ とおく。

この初期値問題の解 $(S(t),I(t),R(t))$ が $t\ge 0$ で一意に存在して $C^1$ 級であり、すべての $t\ge 0$ で $S(t)>0,I(t)>0$ であることは用いてよい。

このとき、極限 $S_{\infty }=\underset{t\to \infty }{\lim }S(t)$ が存在して
$$0<S_{\infty }<\frac{N}{R_0}$$
を満たすことを証明せよ。

出生・死亡・移動のない閉じた集団で、ある感染症の流行を考える。時刻 $t\geqq 0$ における感受性者・感染者・免疫保持者（回復者とワクチン接種者）の人口全体に対する割合を、それぞれ $s(t)$, $i(t)$, $r(t)$ とする。これらは $s+i+r=1$ を満たし、正の定数 $\beta ,\gamma$ を用いた SIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{di}{dt}=\beta si-\gamma i,\frac{dr}{dt}=\gamma i$$
に従うとする。$\beta ,\gamma$ の値は分かっていない。

ある地域では、流行の前に人口の $\frac{2}{5}$ がワクチンを接種して免疫をもっていた（ワクチンの効果は完全で、接種者は $r$ に含める）。流行のはじめの感染者はごくわずかであり、以下の計算では $s(0)=\frac{3}{5}$, $i(0)=0$, $r(0)=\frac{2}{5}$ とみなしてよい。流行が終わった後（$t\to \infty$）の調査で、この流行の間に感染した人の割合は人口全体の $\frac{3}{10}$ であった。

この観測から基本再生産数 $R_0=\frac{\beta }{\gamma }$ を推定したうえで、同じ感染症（$\beta ,\gamma$ は同じ）が、ワクチン接種率 $p$（$0\leqq p<1$）の別の集団にごく少数の感染者から持ち込まれる場合を考える。この集団では $s(0)=1-p$ とみなし、${\frac{di}{dt}|}_{t=0}\leqq 0$、すなわち $\beta s(0)-\gamma \leqq 0$ となれば流行は起こらないとする。流行を起こさないために必要な接種率 $p$ の最小値を求めよ。

出生・死亡・移動のない閉じた集団を、人口の割合がともに $\frac{1}{2}$ である 2 つのグループ（グループ 1, グループ 2）に分ける。時刻 $t\geqq 0$ におけるグループ $j$ $(j=1,2)$ の感受性者・感染者・回復者の、人口全体に対する割合をそれぞれ $s_j(t)$, $i_j(t)$, $r_j(t)$ とする。これらは次の 2 グループ SIR モデルに従うとする。
$$\frac{d{s}_j}{dt}=-\beta c_j{s}_j(c_1{i}_1+c_2{i}_2),\frac{d{i}_j}{dt}=\beta c_j{s}_j(c_1{i}_1+c_2{i}_2)-\gamma i_j,\frac{d{r}_j}{dt}=\gamma i_j(j=1,2)$$
ここで $c_1=1$, $c_2=2$ は各グループの接触の活発さを表す定数であり、$\beta >0$, $\gamma >0$ は値の分からない定数である。初期条件は $s_j(0)+i_j(0)=\frac{1}{2}$, $r_j(0)=0$, $i_j(0)>0$ $(j=1,2)$ とし、初期の感染者の割合は無視できるほど小さいとして、$i_1(0),i_2(0)\to +0$ の極限で考える（すなわち、最終規模の関係式においては $s_j(0)=\frac{1}{2}$ とする）。また $t\to \infty$ で $i_j(t)\to 0$ となり、$s_j(t)$ は正の値 $s_j(\infty )$ に収束するものとする。

流行が終わった後の調査で、グループ 1 の人々のうちちょうど半数が一度も感染しなかったこと、すなわち $s_1(\infty )=\frac{1}{4}$ であることが分かった。このとき、感染のない平衡状態 $(s_1,s_2,i_1,i_2)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0,0\right)$ における次世代行列のスペクトル半径として定義される基本再生産数 $R_0$ を求めよ。

出生・死亡・移動のない閉じた集団での感染症の流行を、人口全体に対する割合で表した SIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{di}{dt}=\beta si-\gamma i,\frac{dr}{dt}=\gamma i$$
で記述する。ここで $s(t),i(t),r(t)$ はそれぞれ時刻 $t(t\ge 0)$ における感受性者・感染者・回復者（免疫をもつ者）の割合で $s+i+r=1$ を満たし、$\beta ,\gamma$ は正の定数（値は未知）である。基本再生産数を $R_0=\frac{\beta }{\gamma }$ とする。

観測. ある流行では、はじめ全員が感受性者で、ごく少数の感染者から流行が始まった。この流行を $s(0)=1-\epsilon$, $i(0)=\epsilon$, $r(0)=0$ とし $\epsilon \to +0$ の極限をとったものとみなす。流行が終息したとき（$t\to \infty$）、一度も感染しなかった人の割合は $s_{\infty }={\lim }_{t\to \infty }s(t)=\frac{1}{4}$ であった。

対策. 同じ感染症（$\beta ,\gamma$ は同じ）が、全員が感受性者である別の同様の集団に持ち込まれる前に、人口の割合 $p(0\le p\le 1)$ にワクチンを接種して免疫をもたせる（接種者ははじめから回復者に含める）。持ち込まれる感染者の割合は無視できるほど小さいとし、持ち込まれた直後の感受性者の割合は $s(0)=1-p$ とみなす（感染者の割合 $i(0)$ は正）。持ち込まれた直後に感染者の割合が増加しない（$t=0$ で $\frac{di}{dt}\le 0$ となる）ための $p$ の最小値を求めよ。

出生・死亡・移動のない閉じた集団で、潜伏期間のある感染症の流行を、人口全体に対する割合で表した SEIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{de}{dt}=\beta si-\sigma e,\frac{di}{dt}=\sigma e-\gamma i,\frac{dr}{dt}=\gamma i$$
で考える。ここで $s,e,i,r$ はそれぞれ感受性者・潜伏期の人・感染性のある人・回復者（免疫をもち再感染しない）の割合、$t\geqq 0$ は時刻、$\beta ,\sigma ,\gamma$ は正の定数であり、このモデルの基本再生産数は $R_0=\frac{\beta }{\gamma }$ である。

ある流行では、初期値が $s(0)=1-\epsilon ,e(0)=0,i(0)=\epsilon ,r(0)=0$（$\epsilon$ は小さな正の数）であり、$\epsilon \to +0$ の極限で、最後まで一度も感染しなかった人の割合 $s_{\infty }=\underset{t\to \infty }{\lim }s(t)$ が $\frac{1}{4}$ であった。ただし、$t\to \infty$ で $e(t)\to 0$, $i(t)\to 0$ となることは認めてよい。

次の流行に備えて、流行の始まる前に人口の割合 $p$（$0\leqq p\leqq 1$）にワクチンを接種して免疫をもたせる（接種した人は初めから回復者に含まれる）。$\beta ,\sigma ,\gamma$ は上の流行と同じであるとし、実効再生産数 $R_0(1-p)$ が $1$ 以下になる最小の $p$ を求めよ。

出生・死亡・移動のない集団での感染症の流行を考える。時刻 $t\geqq 0$ における感受性者・感染者・回復者（免疫保持者を含む）の人口全体に対する割合をそれぞれ $s(t)$, $i(t)$, $r(t)$ とし、これらが SIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{di}{dt}=\beta si-\gamma i,\frac{dr}{dt}=\gamma i$$
に従うとする。ここで $\beta$, $\gamma$ は正の定数である。この集団では流行の開始前に人口の $\frac{1}{5}$ がすでに免疫をもっており、初期値を
$$s(0)=\frac{4}{5}-\epsilon ,i(0)=\epsilon ,r(0)=\frac{1}{5}(\epsilon >0)$$
とする。以下では $\epsilon \to +0$ の極限での値を考える。この極限で、流行の終息後の感受性者の割合 $\underset{t\to \infty }{\lim }s(t)$ が $\frac{1}{5}$ になるように基本再生産数 $R_0=\frac{\beta }{\gamma }$ が定まっているとする。このとき、流行中の感染者の割合の最大値 $\underset{t\geqq 0}{\max }i(t)$ の $\epsilon \to +0$ での極限を求めよ。

出生・死亡・移動のない閉じた集団で、ある感染症の流行を考える。時刻 $t\geqq 0$（単位: 日）における感受性者・感染者・回復者（免疫をもつ者を含む）の人口全体に対する割合をそれぞれ $s(t)$, $i(t)$, $r(t)$ とし（$s+i+r=1$）、これらが SIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{di}{dt}=\beta si-\gamma i,\frac{dr}{dt}=\gamma i$$
にしたがうとする。ここで $\beta =4\log 2$, $\gamma =1$ であり、単位はいずれも「1 日あたり」である。

流行が始まる前に、人口全体の半分にワクチンを接種した。ワクチンは完全に有効で、接種者ははじめから $r$ に含まれるとする。すなわち初期値は
$$s(0)=\frac{1}{2}-\epsilon ,i(0)=\epsilon ,r(0)=\frac{1}{2}(0<\epsilon <\frac{1}{2})$$
である。流行の終わり（$t\to \infty$）までに一度でも感染した人の人口全体に対する割合を $F(\epsilon )=i(0)+s(0)-\underset{t\to \infty }{\lim }s(t)$ とするとき、極限 $\underset{\epsilon \to +0}{\lim }F(\epsilon )$ を求めよ。