数理モデルの問題

出生・死亡・移動のない閉じた集団で、ある感染症の流行を考える。時刻 $t\geqq 0$ における感受性者・感染者・免疫保持者（回復者とワクチン接種者）の人口全体に対する割合を、それぞれ $s(t)$, $i(t)$, $r(t)$ とする。これらは $s+i+r=1$ を満たし、正の定数 $\beta ,\gamma$ を用いた SIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{di}{dt}=\beta si-\gamma i,\frac{dr}{dt}=\gamma i$$
に従うとする。$\beta ,\gamma$ の値は分かっていない。

ある地域では、流行の前に人口の $\frac{2}{5}$ がワクチンを接種して免疫をもっていた（ワクチンの効果は完全で、接種者は $r$ に含める）。流行のはじめの感染者はごくわずかであり、以下の計算では $s(0)=\frac{3}{5}$, $i(0)=0$, $r(0)=\frac{2}{5}$ とみなしてよい。流行が終わった後（$t\to \infty$）の調査で、この流行の間に感染した人の割合は人口全体の $\frac{3}{10}$ であった。

この観測から基本再生産数 $R_0=\frac{\beta }{\gamma }$ を推定したうえで、同じ感染症（$\beta ,\gamma$ は同じ）が、ワクチン接種率 $p$（$0\leqq p<1$）の別の集団にごく少数の感染者から持ち込まれる場合を考える。この集団では $s(0)=1-p$ とみなし、${\frac{di}{dt}|}_{t=0}\leqq 0$、すなわち $\beta s(0)-\gamma \leqq 0$ となれば流行は起こらないとする。流行を起こさないために必要な接種率 $p$ の最小値を求めよ。

出生・死亡・移動のない閉じた集団での感染症の流行を、人口全体に対する割合で表した SIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{di}{dt}=\beta si-\gamma i,\frac{dr}{dt}=\gamma i$$
で記述する。ここで $s(t),i(t),r(t)$ はそれぞれ時刻 $t(t\ge 0)$ における感受性者・感染者・回復者（免疫をもつ者）の割合で $s+i+r=1$ を満たし、$\beta ,\gamma$ は正の定数（値は未知）である。基本再生産数を $R_0=\frac{\beta }{\gamma }$ とする。

観測. ある流行では、はじめ全員が感受性者で、ごく少数の感染者から流行が始まった。この流行を $s(0)=1-\epsilon$, $i(0)=\epsilon$, $r(0)=0$ とし $\epsilon \to +0$ の極限をとったものとみなす。流行が終息したとき（$t\to \infty$）、一度も感染しなかった人の割合は $s_{\infty }={\lim }_{t\to \infty }s(t)=\frac{1}{4}$ であった。

対策. 同じ感染症（$\beta ,\gamma$ は同じ）が、全員が感受性者である別の同様の集団に持ち込まれる前に、人口の割合 $p(0\le p\le 1)$ にワクチンを接種して免疫をもたせる（接種者ははじめから回復者に含める）。持ち込まれる感染者の割合は無視できるほど小さいとし、持ち込まれた直後の感受性者の割合は $s(0)=1-p$ とみなす（感染者の割合 $i(0)$ は正）。持ち込まれた直後に感染者の割合が増加しない（$t=0$ で $\frac{di}{dt}\le 0$ となる）ための $p$ の最小値を求めよ。

出生・死亡・移動のない集団での感染症の流行を考える。時刻 $t\geqq 0$ における感受性者・感染者・回復者（免疫保持者を含む）の人口全体に対する割合をそれぞれ $s(t)$, $i(t)$, $r(t)$ とし、これらが SIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{di}{dt}=\beta si-\gamma i,\frac{dr}{dt}=\gamma i$$
に従うとする。ここで $\beta$, $\gamma$ は正の定数である。この集団では流行の開始前に人口の $\frac{1}{5}$ がすでに免疫をもっており、初期値を
$$s(0)=\frac{4}{5}-\epsilon ,i(0)=\epsilon ,r(0)=\frac{1}{5}(\epsilon >0)$$
とする。以下では $\epsilon \to +0$ の極限での値を考える。この極限で、流行の終息後の感受性者の割合 $\underset{t\to \infty }{\lim }s(t)$ が $\frac{1}{5}$ になるように基本再生産数 $R_0=\frac{\beta }{\gamma }$ が定まっているとする。このとき、流行中の感染者の割合の最大値 $\underset{t\geqq 0}{\max }i(t)$ の $\epsilon \to +0$ での極限を求めよ。

出生・死亡・移動のない閉じた集団で、潜伏期間のある感染症の流行を、人口全体に対する割合で表した SEIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{de}{dt}=\beta si-\sigma e,\frac{di}{dt}=\sigma e-\gamma i,\frac{dr}{dt}=\gamma i$$
で考える。ここで $s,e,i,r$ はそれぞれ感受性者・潜伏期の人・感染性のある人・回復者（免疫をもち再感染しない）の割合、$t\geqq 0$ は時刻、$\beta ,\sigma ,\gamma$ は正の定数であり、このモデルの基本再生産数は $R_0=\frac{\beta }{\gamma }$ である。

ある流行では、初期値が $s(0)=1-\epsilon ,e(0)=0,i(0)=\epsilon ,r(0)=0$（$\epsilon$ は小さな正の数）であり、$\epsilon \to +0$ の極限で、最後まで一度も感染しなかった人の割合 $s_{\infty }=\underset{t\to \infty }{\lim }s(t)$ が $\frac{1}{4}$ であった。ただし、$t\to \infty$ で $e(t)\to 0$, $i(t)\to 0$ となることは認めてよい。

次の流行に備えて、流行の始まる前に人口の割合 $p$（$0\leqq p\leqq 1$）にワクチンを接種して免疫をもたせる（接種した人は初めから回復者に含まれる）。$\beta ,\sigma ,\gamma$ は上の流行と同じであるとし、実効再生産数 $R_0(1-p)$ が $1$ 以下になる最小の $p$ を求めよ。

ある閉じた集団（出生・死亡・移動はないとする）での感染症の流行を、人口全体に対する割合で表した SIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{di}{dt}=\beta si-\gamma i,\frac{dr}{dt}=\gamma i$$
で表す。ここで $s(t)$, $i(t)$, $r(t)$ はそれぞれ時刻 $t$（単位は日）における感受性者・感染者・回復者の割合で、$s+i+r=1$ を満たし、$\beta >0$, $\gamma >0$ は定数である。

感染者は平均 $5$ 日で回復する（$\gamma =\frac{1}{5}$）とする。流行の始まりでは、ほぼ全員が感受性者であり $s(0)=1$, $r(0)=0$ とみなしてよい。流行が終息した（$t\to \infty$ で $i(t)\to 0$ となった）とき、人口の $\frac{3}{4}$ が感染を経験していた（$r(\infty )=\frac{3}{4}$）。このとき、感染率 $\beta$（単位は $1/$日）の値を求めよ。