SIR モデルの基本再生産数と流行の閾値

出生・死亡・移動のない閉じた集団で、ある感染症の流行を考える。時刻 $t\geqq 0$（単位: 日）における感受性者・感染者・免疫保持者の人口全体に対する割合をそれぞれ $s(t)$, $i(t)$, $r(t)$ とし、これらは SIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{di}{dt}=\beta si-\gamma i,\frac{dr}{dt}=\gamma i$$
に従うとする。ここで $\beta >0$ は感染率、$\gamma >0$ は回復率（単位はともに $1/\text{日}$）である。

流行の始まる前（$t=0$）に人口の割合 $p$ $(0\leqq p<1)$ にワクチンを接種し、接種者は確実に免疫をもつとする。初期の感染者はごくわずかで $i(0)>0$ とし、$s(0)=1-p$ とみなす。また、$t=0$ で $\frac{di}{dt}\leqq 0$ となるとき「流行が拡大しない」という。

この感染症では回復率が $\gamma =0.2$ であり、流行が拡大しないために必要なワクチン接種率の最小値が $p=\frac{3}{4}$ であることがわかっている。感染率 $\beta$ の値を求めよ。

出生・死亡・移動のない閉じた集団で、ある感染症の流行を考える。時刻 $t\geqq 0$（単位: 日）における感受性者・感染者・回復者（免疫をもつ者を含む）の人口全体に対する割合をそれぞれ $s(t)$, $i(t)$, $r(t)$ とし、これらは SIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{di}{dt}=\beta si-\gamma i,\frac{dr}{dt}=\gamma i$$
に従うとする。ここで $\beta >0$（単位: 1/日）は感染率、$\gamma >0$（単位: 1/日）は回復率である。この感染症の平均感染期間は $5$ 日であり、$\gamma =\frac{1}{5}$ とする。

流行の前に人口の割合 $p$ $(0\leqq p<1)$ にワクチンを接種して免疫をもたせる。初期感染者の割合 $i(0)$ は正で十分小さく、$s(0)=1-p$ とみなす。また、「流行が拡大しない」とは $t=0$ において $\frac{di}{dt}\leqq 0$ となることとする。

流行が拡大しないためのワクチン接種率 $p$ の最小値が $\frac{3}{4}$ であることがわかっているとき、感染率 $\beta$ の値を求めよ。

出生・死亡・移動のない閉じた集団で、ある感染症の流行を考える。時刻 $t\geqq 0$（単位: 日）における感受性者・感染者の人口全体に対する割合をそれぞれ $s(t)$, $i(t)$ とし、これらは SIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{di}{dt}=\beta si-\gamma i$$
に従うとする。この感染症では、感染率は $\beta =1.8$（1/日）、感染者が感染力をもつ平均期間は $\frac{1}{\gamma }=5$ 日である。

流行の前に、人口全体のうち割合 $p$ $(0\leqq p\leqq 1)$ の人にワクチンを接種し、接種した人は完全な免疫をもつとする。最初の感染者の割合 $i(0)$ は正であるがごく小さいので、$s(0)=1-p$ とみなす。

$t=0$ において $\frac{di}{dt}>0$ となるとき「流行が拡大する」という。流行が拡大しないための接種率 $p$ の最小値を求めよ。

出生・死亡・移動のない閉じた集団で、ある感染症の流行を考える。時刻 $t\geqq 0$ における感受性者・感染者・免疫保持者（回復者とワクチン接種者）の人口全体に対する割合を、それぞれ $s(t)$, $i(t)$, $r(t)$ とする。これらは $s+i+r=1$ を満たし、正の定数 $\beta ,\gamma$ を用いた SIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{di}{dt}=\beta si-\gamma i,\frac{dr}{dt}=\gamma i$$
に従うとする。$\beta ,\gamma$ の値は分かっていない。

ある地域では、流行の前に人口の $\frac{2}{5}$ がワクチンを接種して免疫をもっていた（ワクチンの効果は完全で、接種者は $r$ に含める）。流行のはじめの感染者はごくわずかであり、以下の計算では $s(0)=\frac{3}{5}$, $i(0)=0$, $r(0)=\frac{2}{5}$ とみなしてよい。流行が終わった後（$t\to \infty$）の調査で、この流行の間に感染した人の割合は人口全体の $\frac{3}{10}$ であった。

この観測から基本再生産数 $R_0=\frac{\beta }{\gamma }$ を推定したうえで、同じ感染症（$\beta ,\gamma$ は同じ）が、ワクチン接種率 $p$（$0\leqq p<1$）の別の集団にごく少数の感染者から持ち込まれる場合を考える。この集団では $s(0)=1-p$ とみなし、${\frac{di}{dt}|}_{t=0}\leqq 0$、すなわち $\beta s(0)-\gamma \leqq 0$ となれば流行は起こらないとする。流行を起こさないために必要な接種率 $p$ の最小値を求めよ。

出生・死亡・移動のない閉じた集団を、人口の割合がともに $\frac{1}{2}$ である 2 つのグループ（グループ 1, グループ 2）に分ける。時刻 $t\geqq 0$ におけるグループ $j$ $(j=1,2)$ の感受性者・感染者・回復者の、人口全体に対する割合をそれぞれ $s_j(t)$, $i_j(t)$, $r_j(t)$ とする。これらは次の 2 グループ SIR モデルに従うとする。
$$\frac{d{s}_j}{dt}=-\beta c_j{s}_j(c_1{i}_1+c_2{i}_2),\frac{d{i}_j}{dt}=\beta c_j{s}_j(c_1{i}_1+c_2{i}_2)-\gamma i_j,\frac{d{r}_j}{dt}=\gamma i_j(j=1,2)$$
ここで $c_1=1$, $c_2=2$ は各グループの接触の活発さを表す定数であり、$\beta >0$, $\gamma >0$ は値の分からない定数である。初期条件は $s_j(0)+i_j(0)=\frac{1}{2}$, $r_j(0)=0$, $i_j(0)>0$ $(j=1,2)$ とし、初期の感染者の割合は無視できるほど小さいとして、$i_1(0),i_2(0)\to +0$ の極限で考える（すなわち、最終規模の関係式においては $s_j(0)=\frac{1}{2}$ とする）。また $t\to \infty$ で $i_j(t)\to 0$ となり、$s_j(t)$ は正の値 $s_j(\infty )$ に収束するものとする。

流行が終わった後の調査で、グループ 1 の人々のうちちょうど半数が一度も感染しなかったこと、すなわち $s_1(\infty )=\frac{1}{4}$ であることが分かった。このとき、感染のない平衡状態 $(s_1,s_2,i_1,i_2)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0,0\right)$ における次世代行列のスペクトル半径として定義される基本再生産数 $R_0$ を求めよ。

出生・死亡・移動のない閉じた集団での感染症の流行を、人口全体に対する割合で表した SIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{di}{dt}=\beta si-\gamma i,\frac{dr}{dt}=\gamma i$$
で記述する。ここで $s(t),i(t),r(t)$ はそれぞれ時刻 $t(t\ge 0)$ における感受性者・感染者・回復者（免疫をもつ者）の割合で $s+i+r=1$ を満たし、$\beta ,\gamma$ は正の定数（値は未知）である。基本再生産数を $R_0=\frac{\beta }{\gamma }$ とする。

観測. ある流行では、はじめ全員が感受性者で、ごく少数の感染者から流行が始まった。この流行を $s(0)=1-\epsilon$, $i(0)=\epsilon$, $r(0)=0$ とし $\epsilon \to +0$ の極限をとったものとみなす。流行が終息したとき（$t\to \infty$）、一度も感染しなかった人の割合は $s_{\infty }={\lim }_{t\to \infty }s(t)=\frac{1}{4}$ であった。

対策. 同じ感染症（$\beta ,\gamma$ は同じ）が、全員が感受性者である別の同様の集団に持ち込まれる前に、人口の割合 $p(0\le p\le 1)$ にワクチンを接種して免疫をもたせる（接種者ははじめから回復者に含める）。持ち込まれる感染者の割合は無視できるほど小さいとし、持ち込まれた直後の感受性者の割合は $s(0)=1-p$ とみなす（感染者の割合 $i(0)$ は正）。持ち込まれた直後に感染者の割合が増加しない（$t=0$ で $\frac{di}{dt}\le 0$ となる）ための $p$ の最小値を求めよ。

出生・死亡・移動のない閉じた集団で、潜伏期間のある感染症の流行を、人口全体に対する割合で表した SEIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{de}{dt}=\beta si-\sigma e,\frac{di}{dt}=\sigma e-\gamma i,\frac{dr}{dt}=\gamma i$$
で考える。ここで $s,e,i,r$ はそれぞれ感受性者・潜伏期の人・感染性のある人・回復者（免疫をもち再感染しない）の割合、$t\geqq 0$ は時刻、$\beta ,\sigma ,\gamma$ は正の定数であり、このモデルの基本再生産数は $R_0=\frac{\beta }{\gamma }$ である。

ある流行では、初期値が $s(0)=1-\epsilon ,e(0)=0,i(0)=\epsilon ,r(0)=0$（$\epsilon$ は小さな正の数）であり、$\epsilon \to +0$ の極限で、最後まで一度も感染しなかった人の割合 $s_{\infty }=\underset{t\to \infty }{\lim }s(t)$ が $\frac{1}{4}$ であった。ただし、$t\to \infty$ で $e(t)\to 0$, $i(t)\to 0$ となることは認めてよい。

次の流行に備えて、流行の始まる前に人口の割合 $p$（$0\leqq p\leqq 1$）にワクチンを接種して免疫をもたせる（接種した人は初めから回復者に含まれる）。$\beta ,\sigma ,\gamma$ は上の流行と同じであるとし、実効再生産数 $R_0(1-p)$ が $1$ 以下になる最小の $p$ を求めよ。

出生・死亡・移動のない集団での感染症の流行を考える。時刻 $t\geqq 0$ における感受性者・感染者・回復者（免疫保持者を含む）の人口全体に対する割合をそれぞれ $s(t)$, $i(t)$, $r(t)$ とし、これらが SIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{di}{dt}=\beta si-\gamma i,\frac{dr}{dt}=\gamma i$$
に従うとする。ここで $\beta$, $\gamma$ は正の定数である。この集団では流行の開始前に人口の $\frac{1}{5}$ がすでに免疫をもっており、初期値を
$$s(0)=\frac{4}{5}-\epsilon ,i(0)=\epsilon ,r(0)=\frac{1}{5}(\epsilon >0)$$
とする。以下では $\epsilon \to +0$ の極限での値を考える。この極限で、流行の終息後の感受性者の割合 $\underset{t\to \infty }{\lim }s(t)$ が $\frac{1}{5}$ になるように基本再生産数 $R_0=\frac{\beta }{\gamma }$ が定まっているとする。このとき、流行中の感染者の割合の最大値 $\underset{t\geqq 0}{\max }i(t)$ の $\epsilon \to +0$ での極限を求めよ。

出生・死亡・移動のない閉じた集団で、ある感染症の流行を考える。時刻 $t\geqq 0$（単位: 日）における感受性者・感染者・回復者（免疫をもつ者を含む）の人口全体に対する割合をそれぞれ $s(t)$, $i(t)$, $r(t)$ とし（$s+i+r=1$）、これらが SIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{di}{dt}=\beta si-\gamma i,\frac{dr}{dt}=\gamma i$$
にしたがうとする。ここで $\beta =4\log 2$, $\gamma =1$ であり、単位はいずれも「1 日あたり」である。

流行が始まる前に、人口全体の半分にワクチンを接種した。ワクチンは完全に有効で、接種者ははじめから $r$ に含まれるとする。すなわち初期値は
$$s(0)=\frac{1}{2}-\epsilon ,i(0)=\epsilon ,r(0)=\frac{1}{2}(0<\epsilon <\frac{1}{2})$$
である。流行の終わり（$t\to \infty$）までに一度でも感染した人の人口全体に対する割合を $F(\epsilon )=i(0)+s(0)-\underset{t\to \infty }{\lim }s(t)$ とするとき、極限 $\underset{\epsilon \to +0}{\lim }F(\epsilon )$ を求めよ。

正の定数 $\beta ,\gamma$ と正の実数 $S_0,I_0$ を考える。感染症の SIR モデルの方程式
$$\frac{dS}{dt}=-\beta SI,\frac{dI}{dt}=\beta SI-\gamma I(t\ge 0),S(0)=S_0,I(0)=I_0$$
を考える（$S(t)$ は感受性人口、$I(t)$ は感染人口を表す）。この初期値問題には $[0,\infty )$ 全体で定義された $C^1$ 級の実数値の解 $(S(t),I(t))$ が存在することは用いてよい。

この解について、極限 $S_{\infty }=\underset{t\to \infty }{\lim }S(t)$ と $\underset{t\to \infty }{\lim }I(t)$ がともに存在し、
$$\underset{t\to \infty }{\lim }I(t)=0,0<S_{\infty }<\frac{\gamma }{\beta }$$
が成り立つことを証明せよ。