数理モデルの問題

正の定数 $N,\beta ,\gamma$ に対し、SIR モデル
$$S^{\prime }(t)=-\frac{\beta }{N}S(t)I(t),I^{\prime }(t)=\frac{\beta }{N}S(t)I(t)-\gamma I(t),R^{\prime }(t)=\gamma I(t)$$
を初期条件 $S(0)=S_0,I(0)=I_0,R(0)=0$（ただし $S_0>0,I_0>0,S_0+I_0=N$）のもとで考え、基本再生産数を $R_0=\frac{\beta }{\gamma }$ とおく。

この初期値問題の解 $(S(t),I(t),R(t))$ が $t\ge 0$ で一意に存在して $C^1$ 級であり、すべての $t\ge 0$ で $S(t)>0,I(t)>0$ であることは用いてよい。

このとき、極限 $S_{\infty }=\underset{t\to \infty }{\lim }S(t)$ が存在して
$$0<S_{\infty }<\frac{N}{R_0}$$
を満たすことを証明せよ。

出生・死亡・移動のない集団での感染症の流行を考える。時刻 $t\geqq 0$ における感受性者・感染者・回復者（免疫保持者を含む）の人口全体に対する割合をそれぞれ $s(t)$, $i(t)$, $r(t)$ とし、これらが SIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{di}{dt}=\beta si-\gamma i,\frac{dr}{dt}=\gamma i$$
に従うとする。ここで $\beta$, $\gamma$ は正の定数である。この集団では流行の開始前に人口の $\frac{1}{5}$ がすでに免疫をもっており、初期値を
$$s(0)=\frac{4}{5}-\epsilon ,i(0)=\epsilon ,r(0)=\frac{1}{5}(\epsilon >0)$$
とする。以下では $\epsilon \to +0$ の極限での値を考える。この極限で、流行の終息後の感受性者の割合 $\underset{t\to \infty }{\lim }s(t)$ が $\frac{1}{5}$ になるように基本再生産数 $R_0=\frac{\beta }{\gamma }$ が定まっているとする。このとき、流行中の感染者の割合の最大値 $\underset{t\geqq 0}{\max }i(t)$ の $\epsilon \to +0$ での極限を求めよ。

出生・死亡・移動のない閉じた集団で、潜伏期間のある感染症の流行を、人口全体に対する割合で表した SEIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{de}{dt}=\beta si-\sigma e,\frac{di}{dt}=\sigma e-\gamma i,\frac{dr}{dt}=\gamma i$$
で考える。ここで $s,e,i,r$ はそれぞれ感受性者・潜伏期の人・感染性のある人・回復者（免疫をもち再感染しない）の割合、$t\geqq 0$ は時刻、$\beta ,\sigma ,\gamma$ は正の定数であり、このモデルの基本再生産数は $R_0=\frac{\beta }{\gamma }$ である。

ある流行では、初期値が $s(0)=1-\epsilon ,e(0)=0,i(0)=\epsilon ,r(0)=0$（$\epsilon$ は小さな正の数）であり、$\epsilon \to +0$ の極限で、最後まで一度も感染しなかった人の割合 $s_{\infty }=\underset{t\to \infty }{\lim }s(t)$ が $\frac{1}{4}$ であった。ただし、$t\to \infty$ で $e(t)\to 0$, $i(t)\to 0$ となることは認めてよい。

次の流行に備えて、流行の始まる前に人口の割合 $p$（$0\leqq p\leqq 1$）にワクチンを接種して免疫をもたせる（接種した人は初めから回復者に含まれる）。$\beta ,\sigma ,\gamma$ は上の流行と同じであるとし、実効再生産数 $R_0(1-p)$ が $1$ 以下になる最小の $p$ を求めよ。

出生・死亡・移動のない閉じた集団で、ある感染症の流行を考える。時刻 $t\geqq 0$（単位: 日）における感受性者・感染者・回復者（免疫をもつ者を含む）の人口全体に対する割合をそれぞれ $s(t)$, $i(t)$, $r(t)$ とし（$s+i+r=1$）、これらが SIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{di}{dt}=\beta si-\gamma i,\frac{dr}{dt}=\gamma i$$
にしたがうとする。ここで $\beta =4\log 2$, $\gamma =1$ であり、単位はいずれも「1 日あたり」である。

流行が始まる前に、人口全体の半分にワクチンを接種した。ワクチンは完全に有効で、接種者ははじめから $r$ に含まれるとする。すなわち初期値は
$$s(0)=\frac{1}{2}-\epsilon ,i(0)=\epsilon ,r(0)=\frac{1}{2}(0<\epsilon <\frac{1}{2})$$
である。流行の終わり（$t\to \infty$）までに一度でも感染した人の人口全体に対する割合を $F(\epsilon )=i(0)+s(0)-\underset{t\to \infty }{\lim }s(t)$ とするとき、極限 $\underset{\epsilon \to +0}{\lim }F(\epsilon )$ を求めよ。

正の定数 $r,K,H$ が $H<\frac{rK}{4}$ を満たすとし、一定量の捕獲をともなう個体群モデル
$$x^{\prime }(t)=rx(t)\left(1-\frac{x(t)}{K}\right)-H(1)$$
を考える。右辺 $f(x)=rx\left(1-\frac{x}{K}\right)-H$ の 2 つの零点を
$$p=\frac{K}{2}\left(1-\sqrt{1-\frac{4H}{rK}}\right),q=\frac{K}{2}\left(1+\sqrt{1-\frac{4H}{rK}}\right)$$
とおく（$0<p<q$）。

次の 2 つの事実は用いてよい。
- (A) 任意の実数 $x_0$ と $t_0$ に対し、$x(t_0)=x_0$ を満たす $(1)$ の解は（定義される範囲で）ただ 1 つである。
- (B) $(1)$ の解 $x(t)$ が、それが定義される $t\ge 0$ の範囲で有界閉区間に含まれ続けるならば、その解は $t\ge 0$ 全体に延長できる。

初期値 $x(0)=x_0$ が $x_0>p$ を満たすとき、$(1)$ の解は $t\ge 0$ 全体で定義されて $\underset{t\to \infty }{\lim }x(t)=q$ となることを証明せよ。