数理モデルの問題

正の定数 $N,\beta ,\gamma$ に対し、SIR モデル
$$S^{\prime }(t)=-\frac{\beta }{N}S(t)I(t),I^{\prime }(t)=\frac{\beta }{N}S(t)I(t)-\gamma I(t),R^{\prime }(t)=\gamma I(t)$$
を初期条件 $S(0)=S_0,I(0)=I_0,R(0)=0$（ただし $S_0>0,I_0>0,S_0+I_0=N$）のもとで考え、基本再生産数を $R_0=\frac{\beta }{\gamma }$ とおく。

この初期値問題の解 $(S(t),I(t),R(t))$ が $t\ge 0$ で一意に存在して $C^1$ 級であり、すべての $t\ge 0$ で $S(t)>0,I(t)>0$ であることは用いてよい。

このとき、極限 $S_{\infty }=\underset{t\to \infty }{\lim }S(t)$ が存在して
$$0<S_{\infty }<\frac{N}{R_0}$$
を満たすことを証明せよ。

恒星のまわりを回る惑星の公転周期 $T$ が、万有引力定数 $G$、恒星の質量 $M$、惑星の質量 $m$、軌道長半径 $a$ だけで決まるとし、$T=F(G,M,m,a)$ と書く。ここで $F:(0,\infty {)}^4\to (0,\infty )$ は関数である。

各量の次元は $[G]={\mathrm{L}}^3{\mathrm{M}}^{-1}{\mathrm{T}}^{-2}$、$[M]=[m]=\mathrm{M}$、$[a]=\mathrm{L}$、$[T]=\mathrm{T}$ である。長さ・質量・時間の単位をそれぞれ $\frac{1}{{\lambda }_L},\frac{1}{{\lambda }_M},\frac{1}{{\lambda }_T}$ 倍に取り替えると（${\lambda }_L,{\lambda }_M,{\lambda }_T>0$）、各量の数値は次元に応じて $G\mapsto {\lambda }_L^3{\lambda }_M^{-1}{\lambda }_T^{-2}G$、$M\mapsto {\lambda }_{M}M$、$m\mapsto {\lambda }_{M}m$、$a\mapsto {\lambda }_{L}a$、$T\mapsto {\lambda }_{T}T$ と変わる。関係 $T=F(G,M,m,a)$ が単位の取り方によらず成り立つという要請を、次の条件 $(\ast )$ で表す。
$$(\ast )F({\lambda }_L^3{\lambda }_M^{-1}{\lambda }_T^{-2}G,{\lambda }_{M}M,{\lambda }_{M}m,{\lambda }_{L}a)={\lambda }_{T}F(G,M,m,a)(\text{すべての }G,M,m,a,{\lambda }_L,{\lambda }_M,{\lambda }_T>0)$$

関数 $F:(0,\infty {)}^4\to (0,\infty )$ が $(\ast )$ を満たすための必要十分条件は、ある関数 $\Phi :(0,\infty )\to (0,\infty )$ が存在して、すべての $G,M,m,a>0$ に対し
$$F(G,M,m,a)=\sqrt{\frac{a^3}{GM}}\Phi \left(\frac{m}{M}\right)$$
が成り立つことである。これを証明せよ。

ある鳥の雌の個体群を、年齢により 3 つの階級（第 1 階級: 0 歳、第 2 階級: 1 歳、第 3 階級: 2 歳）に分ける。時刻 $t$（$t$ は 0 以上の整数、単位は年）における各階級の個体数を並べたベクトルを $\mathbf{x}(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\\ x_3(t)\end{array}\right)$ とし、その推移が
$$\mathbf{x}(t+1)=L\mathbf{x}(t),L=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ \frac{1}{2}& 0& 0\\ 0& \frac{1}{2}& 0\end{array}\right)$$
で表されるとする（個体数は実数値をとってよいものとする）。初期値が $x_1(0)=100$, $x_2(0)=40$, $x_3(0)=20$ のとき、極限
$$\underset{t\to \infty }{\lim }(x_1(t)+x_2(t)+x_3(t))$$
を求めよ。

正の定数 $\beta ,\gamma$ と正の実数 $S_0,I_0$ を考える。感染症の SIR モデルの方程式
$$\frac{dS}{dt}=-\beta SI,\frac{dI}{dt}=\beta SI-\gamma I(t\ge 0),S(0)=S_0,I(0)=I_0$$
を考える（$S(t)$ は感受性人口、$I(t)$ は感染人口を表す）。この初期値問題には $[0,\infty )$ 全体で定義された $C^1$ 級の実数値の解 $(S(t),I(t))$ が存在することは用いてよい。

この解について、極限 $S_{\infty }=\underset{t\to \infty }{\lim }S(t)$ と $\underset{t\to \infty }{\lim }I(t)$ がともに存在し、
$$\underset{t\to \infty }{\lim }I(t)=0,0<S_{\infty }<\frac{\gamma }{\beta }$$
が成り立つことを証明せよ。

被食者の個体数密度 $x(t)$ と捕食者の個体数密度 $y(t)$（$t\geqq 0$ は時刻）が、被食者のロジスティック成長と捕食者の飽和型の捕食を取り入れた連立微分方程式
$$\frac{dx}{dt}=x\left(1-\frac{x}{K}\right)-\frac{xy}{1+x},\frac{dy}{dt}=y\left(\frac{x}{1+x}-\frac{3}{5}\right)$$
に従うとする。ここで $K$ は $K>\frac{3}{2}$ を満たす実数の定数（環境収容力）である。このとき、$x>0,y>0$ を満たす平衡点（内部平衡点）がただ 1 つ存在する。

内部平衡点におけるヤコビ行列の固有値が純虚数 $\pm i\omega$（$\omega >0$）となる $K$ の値を $K_0$ とする。組 $(K_0,\omega )$ を求めよ。ただし $\omega$ は $K=K_0$ のときの値とする。