数理モデルの問題

正の定数 $r,K,H$ が $H<\frac{rK}{4}$ を満たすとし、一定量の捕獲をともなう個体群モデル
$$x^{\prime }(t)=rx(t)\left(1-\frac{x(t)}{K}\right)-H(1)$$
を考える。右辺 $f(x)=rx\left(1-\frac{x}{K}\right)-H$ の 2 つの零点を
$$p=\frac{K}{2}\left(1-\sqrt{1-\frac{4H}{rK}}\right),q=\frac{K}{2}\left(1+\sqrt{1-\frac{4H}{rK}}\right)$$
とおく（$0<p<q$）。

次の 2 つの事実は用いてよい。
- (A) 任意の実数 $x_0$ と $t_0$ に対し、$x(t_0)=x_0$ を満たす $(1)$ の解は（定義される範囲で）ただ 1 つである。
- (B) $(1)$ の解 $x(t)$ が、それが定義される $t\ge 0$ の範囲で有界閉区間に含まれ続けるならば、その解は $t\ge 0$ 全体に延長できる。

初期値 $x(0)=x_0$ が $x_0>p$ を満たすとき、$(1)$ の解は $t\ge 0$ 全体で定義されて $\underset{t\to \infty }{\lim }x(t)=q$ となることを証明せよ。

正の定数 $N,\beta ,\gamma$ に対し、SIR モデル
$$S^{\prime }(t)=-\frac{\beta }{N}S(t)I(t),I^{\prime }(t)=\frac{\beta }{N}S(t)I(t)-\gamma I(t),R^{\prime }(t)=\gamma I(t)$$
を初期条件 $S(0)=S_0,I(0)=I_0,R(0)=0$（ただし $S_0>0,I_0>0,S_0+I_0=N$）のもとで考え、基本再生産数を $R_0=\frac{\beta }{\gamma }$ とおく。

この初期値問題の解 $(S(t),I(t),R(t))$ が $t\ge 0$ で一意に存在して $C^1$ 級であり、すべての $t\ge 0$ で $S(t)>0,I(t)>0$ であることは用いてよい。

このとき、極限 $S_{\infty }=\underset{t\to \infty }{\lim }S(t)$ が存在して
$$0<S_{\infty }<\frac{N}{R_0}$$
を満たすことを証明せよ。

質量 $m$（単位 $\mathrm{kg}$）の小物体が、直線上で原点からの変位 $x$（単位 $\mathrm{m}$）に対して復元力 $-k{x}^3$ を受けて運動する。ここで $k$ は正の定数で、運動方程式は
$$m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-k{x}^3$$
である（$t$ は時刻、単位 $\mathrm{s}$）。小物体を $x=A$（$A>0$）で静かに放すと周期運動をし、その周期 $T$ は $m$, $k$, $A$ だけで決まり、正の無次元定数 $C$ を用いて
$$T=C{m}^{\alpha }{k}^{\beta }{A}^{\gamma }$$
と表されるものとする。

$k$ は変えずに、質量を $4m$、放す位置を $x=3A$ に変えたときの周期を $T^{\prime }$ とする。比 $\frac{T^{\prime }}{T}$ を求めよ。

ある鳥の雌の個体群を、年齢により 3 つの階級（第 1 階級: 0 歳、第 2 階級: 1 歳、第 3 階級: 2 歳）に分ける。時刻 $t$（$t$ は 0 以上の整数、単位は年）における各階級の個体数を並べたベクトルを $\mathbf{x}(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\\ x_3(t)\end{array}\right)$ とし、その推移が
$$\mathbf{x}(t+1)=L\mathbf{x}(t),L=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ \frac{1}{2}& 0& 0\\ 0& \frac{1}{2}& 0\end{array}\right)$$
で表されるとする（個体数は実数値をとってよいものとする）。初期値が $x_1(0)=100$, $x_2(0)=40$, $x_3(0)=20$ のとき、極限
$$\underset{t\to \infty }{\lim }(x_1(t)+x_2(t)+x_3(t))$$
を求めよ。

平面上に広がる物質の面密度 $u(x,y,t)$（単位 $\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-2}$）が、非線形拡散方程式
$$\frac{\partial u}{\partial t}=\kappa \left(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}\right)\left(u^3\right)$$
に従うとする。ここで $x$, $y$ は位置（単位 $\mathrm{m}$）、$t>0$ は時刻（単位 $\mathrm{s}$）、$\kappa$ は正の定数である。時刻 $0$ に原点に質量 $M$（単位 $\mathrm{kg}$）の物質を一点に集中させて置き、その後の全質量 ${\iint }_{{\mathbb{R}}^2}udxdy$ は $M$ のまま保存されるとする。このとき物質が存在する領域は原点を中心とする円板になり、その半径 $R(t)$ は $M$, $\kappa$, $t$ だけで決まって
$$R(t)=C{M}^a{\kappa }^b{t}^c$$
（$C$ は次元をもたない正の定数、$a$, $b$, $c$ は実数の定数）の形に書けるとする。指数の組 $(a,b,c)$ を求めよ。