数理モデルの問題

出生・死亡・移動のない閉じた集団で、ある感染症の流行を考える。時刻 $t\geqq 0$（単位: 日）における感受性者・感染者・回復者（免疫をもつ者を含む）の人口全体に対する割合をそれぞれ $s(t)$, $i(t)$, $r(t)$ とし、これらは SIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{di}{dt}=\beta si-\gamma i,\frac{dr}{dt}=\gamma i$$
に従うとする。ここで $\beta >0$（単位: 1/日）は感染率、$\gamma >0$（単位: 1/日）は回復率である。この感染症の平均感染期間は $5$ 日であり、$\gamma =\frac{1}{5}$ とする。

流行の前に人口の割合 $p$ $(0\leqq p<1)$ にワクチンを接種して免疫をもたせる。初期感染者の割合 $i(0)$ は正で十分小さく、$s(0)=1-p$ とみなす。また、「流行が拡大しない」とは $t=0$ において $\frac{di}{dt}\leqq 0$ となることとする。

流行が拡大しないためのワクチン接種率 $p$ の最小値が $\frac{3}{4}$ であることがわかっているとき、感染率 $\beta$ の値を求めよ。

出生・死亡・移動のない閉じた集団で、ある感染症の流行を考える。時刻 $t\geqq 0$（単位: 日）における感受性者・感染者の人口全体に対する割合をそれぞれ $s(t)$, $i(t)$ とし、これらは SIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{di}{dt}=\beta si-\gamma i$$
に従うとする。この感染症では、感染率は $\beta =1.8$（1/日）、感染者が感染力をもつ平均期間は $\frac{1}{\gamma }=5$ 日である。

流行の前に、人口全体のうち割合 $p$ $(0\leqq p\leqq 1)$ の人にワクチンを接種し、接種した人は完全な免疫をもつとする。最初の感染者の割合 $i(0)$ は正であるがごく小さいので、$s(0)=1-p$ とみなす。

$t=0$ において $\frac{di}{dt}>0$ となるとき「流行が拡大する」という。流行が拡大しないための接種率 $p$ の最小値を求めよ。

出生・死亡・移動のない閉じた集団で、ある感染症の流行を考える。時刻 $t\geqq 0$（単位: 日）における感受性者・感染者・回復者の人口全体に対する割合をそれぞれ $s(t)$, $i(t)$, $r(t)$ とし、これらは SIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{di}{dt}=\beta si-\gamma i,\frac{dr}{dt}=\gamma i$$
に従うとする（$\beta >0$, $\gamma >0$ は定数、$s+i+r=1$）。流行の初めの感染者はごくわずかなので、$s(0)=1$, $r(0)=0$ と近似してよい。また、十分時間がたつと流行は終わり、$i(t)\to 0$ となり、$s(t)$, $r(t)$ はそれぞれ $s_{\infty }$, $r_{\infty }$ に収束するものとする。

この感染症では $\gamma =\frac{1}{4}$（1 日あたり）であり、流行が終わった時点で人口全体の $75\%$ が感染を経験していた、すなわち $r_{\infty }=\frac{3}{4}$ であった。このとき、感染率 $\beta$（1 日あたり）の値を求めよ。

出生・死亡・移動のない閉じた集団での、ある感染症の流行を考える。時刻 $t\geqq 0$（単位: 日）における感受性者・感染者・回復者の人口全体に対する割合を $s(t)$, $i(t)$, $r(t)$ とする。これらは SIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{di}{dt}=\beta si-\gamma i,\frac{dr}{dt}=\gamma i$$
に従うとする。ここで $\beta >0$, $\gamma >0$ は定数であり、$s+i+r=1$ が常に成り立つ。

初期値は
$$s(0)=\frac{99}{100},i(0)=\frac{1}{100},r(0)=0$$
である。また、$t\to \infty$ のとき $s(t)$, $r(t)$ はそれぞれ極限値 $s_{\infty }$, $r_{\infty }$ に収束し、$i(t)\to 0$ となるものとする。

この感染症の平均感染期間は $5$ 日で、$\gamma =\frac{1}{5}$（$1/\text{日}$）である。流行が終わったとき $r_{\infty }=\frac{3}{4}$ であった。このとき、感染率 $\beta$（$1/\text{日}$）の値を求めよ。

出生・死亡・移動のない閉じた集団での感染症の流行を、人口全体に対する割合で表した SIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{di}{dt}=\beta si-\gamma i,\frac{dr}{dt}=\gamma i$$
で考える。ここで $t\geqq 0$ は時刻（単位: 日）、$s(t)$, $i(t)$, $r(t)$ はそれぞれ感受性者・感染者・回復者の割合で、$s+i+r=1$ を満たす。$\beta >0$ は感染率（単位: 1/日）、回復率は $\gamma =\frac{1}{5}$（単位: 1/日）で、どちらも定数である。

初期条件を $0<\epsilon <1$ として
$$s(0)=1-\epsilon ,i(0)=\epsilon ,r(0)=0$$
とする。このとき、すべての $t\geqq 0$ で $s(t)>0$, $i(t)>0$ であり、$t\to \infty$ で $i(t)\to 0$、$r(t)\to r_{\infty }(\epsilon )$ となるものとする（$r_{\infty }(\epsilon )$ は $\beta$ と $\epsilon$ によって決まる）。

$\beta$ を固定したまま初期の感染者の割合 $\epsilon$ を $0$ に近づけたとき、$\underset{\epsilon \to +0}{\lim }{r}_{\infty }(\epsilon )=\frac{4}{5}$ となった（ごくわずかな感染者から始まった流行で、最終的に人口の $80\%$ が感染を経験した）。このとき感染率 $\beta$ を求めよ。