数理モデルの問題

出生・死亡・移動のない閉じた集団で、ある感染症の流行を考える。時刻 $t\geqq 0$（単位: 日）における感受性者・感染者・免疫保持者の人口全体に対する割合をそれぞれ $s(t)$, $i(t)$, $r(t)$ とし、これらは SIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{di}{dt}=\beta si-\gamma i,\frac{dr}{dt}=\gamma i$$
に従うとする。ここで $\beta >0$ は感染率、$\gamma >0$ は回復率（単位はともに $1/\text{日}$）である。

流行の始まる前（$t=0$）に人口の割合 $p$ $(0\leqq p<1)$ にワクチンを接種し、接種者は確実に免疫をもつとする。初期の感染者はごくわずかで $i(0)>0$ とし、$s(0)=1-p$ とみなす。また、$t=0$ で $\frac{di}{dt}\leqq 0$ となるとき「流行が拡大しない」という。

この感染症では回復率が $\gamma =0.2$ であり、流行が拡大しないために必要なワクチン接種率の最小値が $p=\frac{3}{4}$ であることがわかっている。感染率 $\beta$ の値を求めよ。

出生・死亡・移動のない閉じた集団で、ある感染症の流行を考える。時刻 $t\geqq 0$（単位: 日）における感受性者・感染者の人口全体に対する割合をそれぞれ $s(t)$, $i(t)$ とし、これらは SIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{di}{dt}=\beta si-\gamma i$$
に従うとする。この感染症では、感染率は $\beta =1.8$（1/日）、感染者が感染力をもつ平均期間は $\frac{1}{\gamma }=5$ 日である。

流行の前に、人口全体のうち割合 $p$ $(0\leqq p\leqq 1)$ の人にワクチンを接種し、接種した人は完全な免疫をもつとする。最初の感染者の割合 $i(0)$ は正であるがごく小さいので、$s(0)=1-p$ とみなす。

$t=0$ において $\frac{di}{dt}>0$ となるとき「流行が拡大する」という。流行が拡大しないための接種率 $p$ の最小値を求めよ。

出生・死亡・移動のない閉じた集団での、ある感染症の流行を考える。時刻 $t\geqq 0$（単位: 日）における感受性者・感染者・回復者の人口全体に対する割合を $s(t)$, $i(t)$, $r(t)$ とする。これらは SIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{di}{dt}=\beta si-\gamma i,\frac{dr}{dt}=\gamma i$$
に従うとする。ここで $\beta >0$, $\gamma >0$ は定数であり、$s+i+r=1$ が常に成り立つ。

初期値は
$$s(0)=\frac{99}{100},i(0)=\frac{1}{100},r(0)=0$$
である。また、$t\to \infty$ のとき $s(t)$, $r(t)$ はそれぞれ極限値 $s_{\infty }$, $r_{\infty }$ に収束し、$i(t)\to 0$ となるものとする。

この感染症の平均感染期間は $5$ 日で、$\gamma =\frac{1}{5}$（$1/\text{日}$）である。流行が終わったとき $r_{\infty }=\frac{3}{4}$ であった。このとき、感染率 $\beta$（$1/\text{日}$）の値を求めよ。

出生・死亡・移動のない閉じた集団で、ある感染症の流行を考える。時刻 $t\geqq 0$（単位: 日）における感受性者・感染者・回復者の人口全体に対する割合をそれぞれ $s(t)$, $i(t)$, $r(t)$ とし、これらは SIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{di}{dt}=\beta si-\gamma i,\frac{dr}{dt}=\gamma i$$
に従うとする（$\beta >0$, $\gamma >0$ は定数、$s+i+r=1$）。流行の初めの感染者はごくわずかなので、$s(0)=1$, $r(0)=0$ と近似してよい。また、十分時間がたつと流行は終わり、$i(t)\to 0$ となり、$s(t)$, $r(t)$ はそれぞれ $s_{\infty }$, $r_{\infty }$ に収束するものとする。

この感染症では $\gamma =\frac{1}{4}$（1 日あたり）であり、流行が終わった時点で人口全体の $75\%$ が感染を経験していた、すなわち $r_{\infty }=\frac{3}{4}$ であった。このとき、感染率 $\beta$（1 日あたり）の値を求めよ。

ある閉じた集団（出生・死亡・移動はないとする）での感染症の流行を、人口全体に対する割合で表した SIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{di}{dt}=\beta si-\gamma i,\frac{dr}{dt}=\gamma i$$
で表す。ここで $s(t)$, $i(t)$, $r(t)$ はそれぞれ時刻 $t$（単位は日）における感受性者・感染者・回復者の割合で、$s+i+r=1$ を満たし、$\beta >0$, $\gamma >0$ は定数である。

感染者は平均 $5$ 日で回復する（$\gamma =\frac{1}{5}$）とする。流行の始まりでは、ほぼ全員が感受性者であり $s(0)=1$, $r(0)=0$ とみなしてよい。流行が終息した（$t\to \infty$ で $i(t)\to 0$ となった）とき、人口の $\frac{3}{4}$ が感染を経験していた（$r(\infty )=\frac{3}{4}$）。このとき、感染率 $\beta$（単位は $1/$日）の値を求めよ。