数理モデルの問題

ある魚の個体数（単位: 千匹）を $x(t)$（$t\geqq 0$ は時刻、単位は年）とする。この魚はロジスティック成長をし、さらに毎年一定量が漁獲されるとして、$x(t)$ が微分方程式
$$\frac{dx}{dt}=x\left(1-\frac{x}{12}\right)-\frac{5}{3}$$
に従うとする（$x\geqq 0$ の範囲で考える）。

$f(x)=x\left(1-\frac{x}{12}\right)-\frac{5}{3}$ とおく。この微分方程式の平衡点（$f(x^{\ast })=0$ を満たす $x^{\ast }$）のうち、線形化による判定で漸近安定であるものを $x^{\ast }$ とするとき、$x^{\ast }$ と $f^{\prime }(x^{\ast })$ の値をこの順に組 $(x^{\ast },f^{\prime }(x^{\ast }))$ で求めよ。

ある動物の個体数密度を $x(t)$（$t\geqq 0$ は時刻）とする。個体数が少なすぎると繁殖相手が見つかりにくくなる効果（アリー効果）を取り入れて、$x(t)$ が微分方程式
$$\frac{dx}{dt}=\frac{1}{20}x(x-2)(10-x)$$
に従うとする。ここで $x$ は 0 以上の実数とする。

この微分方程式の $x\geqq 0$ における平衡点のうち、漸近安定なものをすべて求めよ。

ある野生動物の雌の個体群を、年齢により 3 つの階級（第 1 階級: 0 歳、第 2 階級: 1 歳、第 3 階級: 2 歳）に分ける。時刻 $t$（$t$ は 0 以上の整数、単位は年）における各階級の個体数を並べたベクトルを $\mathbf{x}(t)$ とし、その推移が
$$\mathbf{x}(t+1)=L\mathbf{x}(t),L=\left(\begin{array}{ccc}0& 4& 3\\ s& 0& 0\\ 0& \frac{1}{2}& 0\end{array}\right)$$
で表されるとする。ここで $s$ は 0 歳個体が 1 年後に生き残る割合で、$0<s\leqq 1$ を満たす定数である。

$L$ の固有値のうち絶対値が最大のもの（優固有値）は正の実数で、長期的には個体群全体が 1 年ごとにこの優固有値の倍率で増加する。この倍率がちょうど $\frac{3}{2}$ となるような $s$ の値を求めよ。

ある湖の魚の個体数（単位: 千匹）を $x(t)$（$t\geqq 0$ は時刻、単位は年）とする。この魚はロジスティック成長をし、さらに個体数に比例する割合で漁獲されるとして、$x(t)$ が微分方程式
$$\frac{dx}{dt}=\frac{4}{5}x\left(1-\frac{x}{500}\right)-Ex$$
に従うとする。ここで $E$ は漁獲の強さを表す定数で、$0<E<\frac{4}{5}$ とする。この方程式の正の平衡点 $x^{\ast }$ は安定であり、個体数が $x^{\ast }$ に落ち着いたときの 1 年あたりの漁獲量は $Y(E)=E{x}^{\ast }$ である。$Y(E)$ を最大にする $E$ の値と、そのときの $Y(E)$ の値を、この順に組 $(E,Y)$ で求めよ。

同じ資源を奪い合う 2 種の生物の個体数密度を $x(t)$, $y(t)$（$t\geqq 0$ は時刻、$x\geqq 0$, $y\geqq 0$）とする。それぞれがロジスティック成長をし、さらに互いの成長を妨げ合うとして、$x(t)$, $y(t)$ が競争系のロトカ・ヴォルテラ方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(4-2x-y),\frac{dy}{dt}=y(3-x-y)$$
にしたがうとする。領域 $x\geqq 0$, $y\geqq 0$ にある平衡点のうち、漸近安定なものはただ 1 つである。その平衡点の座標 $(x,y)$ を求めよ。