平衡点・不動点の分岐の値

$x ˙ = f (x, r)$ で $f = 0$ かつ $\partial_{x} f = 0$ となる分岐の値を求めて、サドル・ノード・トランスクリティカル・ピッチフォーク分岐を見分けられる。写像では乗数が $+ 1$ または $- 1$ （周期倍分岐）になるパラメータを求められる（例: $x \mapsto r x (1 - x)$ の不動点 $1 - \frac{1}{r}$ は $r = 3$ で乗数 $- 1$ となり周期倍分岐する）

前提

1 変数の自励系の平衡点と線形安定性（大学数学数理モデル）
1 次元写像の周期軌道の乗数と安定性（大学院数学力学系・エルゴード理論）

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算数中学高校大学大学院

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1 変数の自励系の平衡点と線形安定性（大学数学数理モデル）
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積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
1 次元写像の周期軌道の乗数と安定性（大学院数学力学系・エルゴード理論）

説明

パラメータ $r$ を含む 1 変数の微分方程式 $x ˙ = f (x, r)$ で、 $r$ を動かしたときに平衡点の個数や安定性が突然変わる $r$ の値（分岐の値）を求め、その変わり方がサドル・ノード分岐・トランスクリティカル分岐・ピッチフォーク分岐のどれかを見分けられるようになります。1 次元写像 $x \mapsto g (x, r)$ についても、不動点の乗数が $+ 1$ または $- 1$ になる $r$ を求めて分岐の値を特定できます。個体数モデルのしきい値、レーザーの発振開始、ロジスティック写像のカオスへの道すじ（周期倍分岐）など、パラメータでふるまいが切り替わる場面で使います。

なぜそうしてよいのか

記号。 $f (x, r)$ を 2 変数の関数とみて、 $r$ を定数とみなして $x$ で微分したものを $\partial_{x} f$ 、 $x$ を定数とみなして $r$ で微分したものを $\partial_{r} f$ と書きます（偏微分）。 $\partial_{x}^{2} f = \partial_{x} (\partial_{x} f)$ 、 $\partial_{x}^{3} f$ も同様で、 $\partial_{x} \partial_{r} f$ は $\partial_{r} f$ をさらに $x$ で微分したもの（多項式なら微分の順序によらない）です。点 $(x^{*}, r^{*})$ のまわりで $u = x - x^{*}$ , $μ = r - r^{*}$ とおくと、1 変数のテイラー展開と同じように
$f \approx f + \partial_{x} f u + \partial_{r} f μ + \frac{1}{2} \partial_{x}^{2} f u^{2} + \partial_{x} \partial_{r} f uμ + \frac{1}{2} \partial_{r}^{2} f μ^{2} + \frac{1}{6} \partial_{x}^{3} f u^{3} + \dots$
（右辺の偏微分はすべて $(x^{*}, r^{*})$ での値）と近似できます（ $f$ が多項式ならこれは $u, μ$ についての展開そのもの）。

分岐が起こる場所。 平衡点 $x^{*}$ で $\partial_{x} f (x^{*}, r) \neq = 0$ なら、 $f (\cdot, r)$ のグラフは $x^{*}$ で $x$ 軸を斜めに横切っています。 $r$ を少し動かしてもグラフは少しずれるだけなので、横切る点（平衡点）は近くに 1 つだけ残り、 $\partial_{x} f$ の符号、つまり安定性も変わりません。したがって定性的な変化が起こりうるのは、グラフが $x$ 軸に接する $f (x^{*}, r^{*}) = 0$ かつ $\partial_{x} f (x^{*}, r^{*}) = 0$ の点だけで、これが分岐点の候補です。そこでは上の近似の定数項と $u$ の 1 次の項が消え、残る項で型が決まります。
- $\partial_{r} f \neq = 0$ , $\partial_{x}^{2} f \neq = 0$ のとき： $f \approx \partial_{r} f μ + \frac{1}{2} \partial_{x}^{2} f u^{2}$ （ $uμ, μ^{2}$ の項は $μ$ が $u^{2}$ 程度の大きさなのでより小さい）で、 $u ˙ = μ \pm u^{2}$ と同じ形です。 $μ$ の符号によって平衡点が 2 つ（安定と不安定の対）か 0 個になり、2 つが合体して消えるのがサドル・ノード分岐です。
- $x = x^{*}$ がすべての $r$ で平衡点である（ $f (x^{*}, r) = 0$ が $r^{*}$ の近くのすべての $r$ で成り立つ）とき： $r$ だけの項は恒等的に $0$ なので $\partial_{r} f = \partial_{r}^{2} f = 0$ 、 $f \approx \partial_{x} \partial_{r} f μu + \frac{1}{2} \partial_{x}^{2} f u^{2} = u (\partial_{x} \partial_{r} f μ + \frac{1}{2} \partial_{x}^{2} f u)$ です。 $\partial_{x} \partial_{r} f \neq = 0$ , $\partial_{x}^{2} f \neq = 0$ なら平衡点は $u = 0$ と $u \approx - \frac{2 \partial _{x} \partial _{r} f}{\partial _{x}^{2} f} μ$ の 2 本の枝で、 $μ = 0$ で交差して安定性を入れ替えます。これがトランスクリティカル分岐（ $u ˙ = μu - u^{2}$ 型）です。 $\partial_{r} f = 0$ だけでは足りないことに注意します（下のよくある誤りを参照）。より一般には $\partial_{r} f = 0$ で $(\partial_{x} \partial_{r} f)^{2} - \partial_{x}^{2} f \partial_{r}^{2} f > 0$ なら、2 次の部分 $\frac{1}{2} \partial_{x}^{2} f u^{2} + \partial_{x} \partial_{r} f uμ + \frac{1}{2} \partial_{r}^{2} f μ^{2}$ が相異なる 2 本の直線の積に分解し、同じく 2 本の枝が交差します。
- $x^{*}$ について奇関数の対称性 $f (x^{*} - u, r) = - f (x^{*} + u, r)$ がある（例えば $x^{*} = 0$ で $f (- x, r) = - f (x, r)$ ）とき： $u$ の偶数次の項と $r$ だけの項が消え、 $\partial_{r} f = \partial_{x}^{2} f = \partial_{r}^{2} f = 0$ 、 $f \approx \partial_{x} \partial_{r} f μu + \frac{1}{6} \partial_{x}^{3} f u^{3}$ です。 $\partial_{x} \partial_{r} f \neq = 0$ , $\partial_{x}^{3} f \neq = 0$ なら $u ˙ = μu \mp u^{3}$ 型で、1 本の枝 $u = 0$ から対称な 2 本 $u \approx \pm - 6 \partial_{x} \partial_{r} f μ / \partial_{x}^{3} f$ が枝分かれします。これがピッチフォーク分岐です。

写像の場合。 $x_{n + 1} = g (x_{n}, r)$ の不動点 $x^{*}$ の安定性は乗数 $λ = \partial_{x} g (x^{*}, r)$ が $∣ λ ∣ < 1$ か $∣ λ ∣ > 1$ かで決まるので、安定性が変わるのは実数の範囲では $λ = + 1$ か $λ = - 1$ のときです。 $λ = + 1$ は $h (x, r) = g (x, r) - x$ が $h = 0$ かつ $\partial_{x} h = 0$ となることと同じなので、 $h$ に上の判定を使えば微分方程式と同じ 3 つの型が起こります。 $λ = - 1$ のときは $\partial_{x} h = - 2 \neq = 0$ なので $h$ のグラフは $x$ 軸を斜めに横切り、不動点そのものは消えずに続きますが、近くの点が不動点のまわりを交互に振れるようになり、安定性が変わるとともに周期 2 の軌道が生まれます。これが周期倍分岐です。たとえば $g (x) = r x (1 - x)$ の不動点 $1 - \frac{1}{r}$ の乗数は $r (1 - 2 (1 - \frac{1}{r})) = 2 - r$ で、 $r = 3$ のとき $- 1$ になります。

手順

微分方程式 $x ˙ = f (x, r)$ なら、連立方程式 $f (x, r) = 0, \partial_{x} f (x, r) = 0$ を解いて分岐点の候補 $(x^{*}, r^{*})$ をすべて求める
写像 $x \mapsto g (x, r)$ なら、不動点 $g (x^{*}, r) = x^{*}$ を $r$ で表し、乗数 $λ = \partial_{x} g (x^{*}, r)$ を計算して $λ = 1$ または $λ = - 1$ となる $r$ を求める（ $λ = - 1$ なら周期倍分岐、 $λ = + 1$ なら $h = g - x$ に手順 3〜5 を使う）
候補点で $\partial_{r} f$ と $\partial_{x}^{2} f$ を計算する。 $\partial_{r} f \neq = 0$ かつ $\partial_{x}^{2} f \neq = 0$ ならサドル・ノード分岐（ $u ˙ = μ \pm u^{2}$ 型）
$f (x^{*}, r) = 0$ が $r^{*}$ の近くのすべての $r$ で成り立つ（平衡点の枝 $x = x^{*}$ が残り続ける）ことを確かめ、 $\partial_{x} \partial_{r} f \neq = 0$ かつ $\partial_{x}^{2} f \neq = 0$ ならトランスクリティカル分岐（ $u ˙ = μu - u^{2}$ 型）。そうした枝が見えないときは、 $\partial_{r} f = 0$ かつ $(\partial_{x} \partial_{r} f)^{2} - \partial_{x}^{2} f \partial_{r}^{2} f > 0$ を確かめる
$x^{*}$ について奇関数の対称性 $f (x^{*} - u, r) = - f (x^{*} + u, r)$ があり、 $\partial_{x} \partial_{r} f \neq = 0$ かつ $\partial_{x}^{3} f \neq = 0$ ならピッチフォーク分岐（ $u ˙ = μu \mp u^{3}$ 型）。対称性がないとき、等式 $\partial_{r} f = \partial_{x}^{2} f = 0$ だけではピッチフォーク分岐とは言えない（ $\partial_{x} \partial_{r} f \neq = 0$ , $\partial_{x}^{3} f \neq = 0$ の確認と、手順 6 での個数の確認が必要）
$r^{*}$ の前後で平衡点の個数と $\partial_{x} f$ の符号を確かめ、判定した型と一致することを確認する

例題

パラメータ $r$ を含む微分方程式 $\frac{d x}{d t} = r + 2 x - \frac{x ^{3}}{3}$ について、平衡点の個数が変わる分岐の値 $r$ をすべて求めよ。

例題の解答

$f (x, r) = r + 2 x - \frac{x ^{3}}{3}$ とおく。微分方程式なので手順 2（写像の場合）は使わない。

【手順 1】分岐点の候補は $f = 0$ かつ $\partial_{x} f = 0$ を満たす点である。 $\partial_{x} f = 2 - x^{2} = 0$ より $x = \pm 2$ 。これを $f = 0$ 、すなわち $r = \frac{x ^{3}}{3} - 2 x$ に代入すると
- $x = 2$ のとき $r = \frac{2 2}{3} - 22 = - \frac{4 2}{3}$
- $x = - 2$ のとき $r = - \frac{2 2}{3} + 22 = \frac{4 2}{3}$

【手順 3】型を調べる。 $\partial_{r} f = 1 \neq = 0$ （ $x$ を定数とみて $r$ で微分）、 $\partial_{x}^{2} f = - 2 x$ は $x = \pm 2$ で $\mp 22 \neq = 0$ なので、どちらの点もサドル・ノード分岐である。 $\partial_{r} f \neq = 0$ なので、 $\partial_{r} f = 0$ を前提とする手順 4・5（トランスクリティカル・ピッチフォーク）は当てはまらない。

【手順 6】確認する。平衡点は曲線 $r = \frac{x ^{3}}{3} - 2 x$ と水平線の交点で、この 3 次関数は $x = - 2$ で極大値 $\frac{4 2}{3}$ 、 $x = 2$ で極小値 $- \frac{4 2}{3}$ をとる。したがって平衡点は $∣ r ∣ < \frac{4 2}{3}$ で 3 個、 $∣ r ∣ = \frac{4 2}{3}$ で 2 個、 $∣ r ∣ > \frac{4 2}{3}$ で 1 個となり、個数はちょうどこの 2 つの値で変わる。たとえば $r$ が $\frac{4 2}{3}$ を下から越えると、 $x = - 2$ の近くにあった安定な平衡点（ $\partial_{x} f < 0$ ）と不安定な平衡点（ $\partial_{x} f > 0$ ）が合体して消え、サドル・ノード分岐の判定と一致する。

よって分岐の値は $r = \pm \frac{4 2}{3}$ である。

答え: ${- \frac{4 2}{3}, \frac{4 2}{3}}$

よくある誤り

$\partial_{x} f = 0$ だけを解いて、その $x$ の値（例題なら $x = \pm 2$ ）を分岐の値と答えてしまう誤り。正しくは $f = 0$ と連立させ、パラメータの値 $r^{*}$ （例題なら $r = \pm \frac{4 2}{3}$ ）を求める。
$f = 0$ かつ $\partial_{x} f = 0$ を満たせば必ずサドル・ノード分岐だと決めてしまう誤り。正しくは $\partial_{r} f$ と $\partial_{x}^{2} f$ を調べる。たとえば $f = r x - x^{2}$ では $x = 0$ がすべての $r$ で平衡点で、 $(0, 0)$ で $\partial_{x} \partial_{r} f = 1$ 、 $\partial_{x}^{2} f = - 2$ なのでトランスクリティカル分岐、 $f = r x - x^{3}$ は奇関数で $\partial_{x} \partial_{r} f = 1$ 、 $\partial_{x}^{3} f = - 6$ なのでピッチフォーク分岐である。
$\partial_{r} f = 0$ （や $\partial_{r} f = \partial_{x}^{2} f = 0$ ）という等式だけでトランスクリティカル（やピッチフォーク）と判定してしまう誤り。例えば $f = (x + 2 r)^{2} + r^{2}$ は $(0, 0)$ で $f = \partial_{x} f = \partial_{r} f = 0$ , $\partial_{x} \partial_{r} f = 4$ , $\partial_{x}^{2} f = 2$ だが、 $\partial_{r}^{2} f = 10$ で $(\partial_{x} \partial_{r} f)^{2} - \partial_{x}^{2} f \partial_{r}^{2} f = 16 - 20 < 0$ となり、平衡点は $r = 0$ のときの $x = 0$ だけで枝は交差しない。また $f = r^{2} - x^{3}$ は $(0, 0)$ で $\partial_{r} f = \partial_{x}^{2} f = 0$ だが、平衡点はどの $r$ でも $x = r^{2/3}$ の 1 個だけでピッチフォークではない。正しくは、枝 $x = x^{*}$ が残り続けること（または判別の不等式）や対称性と $\partial_{x} \partial_{r} f \neq = 0$ を確かめる。
写像の分岐を微分方程式と同じ条件 $\partial_{x} g = 0$ で探す、あるいは乗数 $- 1$ の周期倍分岐で不動点が消えると考えてしまう誤り。正しくは不動点での乗数が $\partial_{x} g (x^{*}, r) = \pm 1$ となる $r$ を求める。 $x \mapsto r x (1 - x)$ の不動点 $1 - \frac{1}{r}$ では乗数 $2 - r$ が $+ 1$ となる $r = 1$ で不動点 $0$ とのトランスクリティカル分岐、 $- 1$ となる $r = 3$ で周期倍分岐が起こり、 $r = 3$ を越えても $1 - \frac{1}{r}$ は不動点のまま反発的になって周期 2 の軌道が現れる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
実数のパラメータ $r$ をもつ 1 変数の微分方程式
$\frac{d x}{d t} = r + 4 x - x^{2} (x は実数)$
を考える。 $r$ を変化させたとき、平衡点がサドル・ノード分岐（2 つの平衡点が衝突して消える分岐）を起こす $r$ の値を求めよ。