力学系・エルゴード理論の問題

実数 $d$ を $0<d<1$ をみたすパラメータとし、$x\ge 0,y\ge 0$ における平面の常微分方程式系
$$\frac{dx}{dt}=x\left(1-\frac{x}{3}\right)-\frac{xy}{1+x},\frac{dy}{dt}=y\left(\frac{x}{1+x}-d\right)$$
を考える。$x>0$ かつ $y>0$ をみたす平衡点を共存平衡点とよぶ。

共存平衡点が存在し、かつその点におけるヤコビ行列のすべての固有値の実部が負となるような $d$ の値の範囲を、区間で求めよ。

実数 $x$ に対して $f(x)=x^2-2$ と定め、$f^2=f\circ f$ とする。
$$p_0=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},p_1=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$$
とおくと $f(p_0)=p_1,f(p_1)=p_0$ であり、$\{p_0,p_1\}$ は $f$ の周期 $2$ の軌道である。この軌道の乗数 $(f^2{)}^{\prime }(p_0)$ を求めよ。

円周 $\mathbb{T}=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$（$[0,1)$ と同一視する）上の写像
$$f:\mathbb{T}\to \mathbb{T},f(x)=3x\mathrm{mod}1$$
を考える。$x\in \mathbb{T}$ が最小周期 $n$ の周期点であるとは、$f^n(x)=x$ かつ $1\le k<n$ のすべての整数 $k$ について $f^k(x)\ne x$ となることをいう（$f^n$ は $f$ の $n$ 回合成）。最小周期 $4$ の周期軌道（最小周期 $4$ の周期点 $x$ の軌道 $\{x,f(x),f^2(x),f^3(x)\}$）の本数を求めよ。

区間 $X=[0,1)$ 上の写像 $f:X\to X$ を
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}3x& \left(0\le x<\frac{1}{3}\right)\\ x-\frac{1}{3}& \left(\frac{1}{3}\le x<1\right)\end{array}$$
で定める。$X$ 上の確率測度 $\mu$ で、ルベーグ測度に関する密度 $\rho$ をもち、すべてのボレル集合 $A\subset X$ について $\mu (f^{-1}A)=\mu (A)$ をみたすものがただ 1 つ存在し、その密度は 3 つの区間
$$J_1=\left[0,\frac{1}{3}\right),J_2=\left[\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right),J_3=\left[\frac{2}{3},1\right)$$
のそれぞれの上で定数であることが知られている。$\rho$ の $J_1,J_2,J_3$ 上での値を ${\rho }_1,{\rho }_2,{\rho }_3$ とするとき、組 $({\rho }_1,{\rho }_2,{\rho }_3)$ をこの順に求めよ。

$a$ を実数の定数とし、平面写像 $F:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ を
$$F(x,y)=\left(y,-\frac{1}{2}x+ay+y^2\right)$$
で定める。原点 $(0,0)$ は $F$ の不動点である。原点における $F$ のヤコビ行列の固有値の絶対値がすべて $1$ より小さくなるような $a$ の値の範囲を求めよ。