力学系・エルゴード理論の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院数学力学系・エルゴード理論

区間 $X = [0, 1)$ 上の写像 $f : X \to X$ を
$f (x) = {3 x x - \frac{1}{3} (0 \leq x < \frac{1}{3}) (\frac{1}{3} \leq x < 1)$
で定める。 $X$ 上の確率測度 $μ$ で、ルベーグ測度に関する密度 $ρ$ をもち、すべてのボレル集合 $A \subset X$ について $μ (f^{- 1} A) = μ (A)$ をみたすものがただ 1 つ存在し、その密度は 3 つの区間
$J_{1} = [0, \frac{1}{3}), J_{2} = [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}), J_{3} = [\frac{2}{3}, 1)$
のそれぞれの上で定数であることが知られている。 $ρ$ の $J_{1}, J_{2}, J_{3}$ 上での値を $ρ_{1}, ρ_{2}, ρ_{3}$ とするとき、組 $(ρ_{1}, ρ_{2}, ρ_{3})$ をこの順に求めよ。

この問題で使うもの

不変測度と不変密度（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（67 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

不変密度の技能を使います。転送作用素の方程式 $ρ (y) = \sum_{f (x) = y} ρ (x) /∣ f^{'} (x) ∣$ を、 $y$ が $J_{1}, J_{2}, J_{3}$ のどれにあるかに分けて書きましょう。

ヒント 2

枝 $3 x$ からはどの $y$ にも $ρ_{1} /3$ が寄与し、枝 $x - \frac{1}{3}$ からは逆像 $y + \frac{1}{3}$ が $1$ 未満のときだけ寄与します。

ヒント 3

$ρ_{1} = \frac{ρ _{1}}{3} + ρ_{2}, ρ_{2} = \frac{ρ _{1}}{3} + ρ_{3}, ρ_{3} = \frac{ρ _{1}}{3}$ が得られます。これを解き、 $\int_{0}^{1} ρ d x = 1$ で定数を決めます。

答えと解説

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(\frac{3}{2}, 1, \frac{1}{2})

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解説を読む

手順 1: 転送作用素の方程式を書く。
$μ$ が $f$ 不変な密度 $ρ$ をもつことは、ほとんどすべての $y \in X$ で
$ρ (y) = f (x) = y \sum \frac{ρ ( x )}{∣ f ^{'} ( x ) ∣}$
が成り立つことと同値である。 $f$ の傾きは $[0, \frac{1}{3})$ で $3$ 、 $[\frac{1}{3}, 1)$ で $1$ である。

手順 2: 各区間の点 $y$ の逆像を調べる。
- 枝 $f (x) = 3 x$ （ $0 \leq x < \frac{1}{3}$ ）の値域は $[0, 1)$ で、逆像は $x = \frac{y}{3} \in [0, \frac{1}{3}) = J_{1}$ 。よって、どの $y$ にもこの枝から $\frac{ρ _{1}}{3}$ の寄与がある。
- 枝 $f (x) = x - \frac{1}{3}$ （ $\frac{1}{3} \leq x < 1$ ）の値域は $[0, \frac{2}{3})$ で、逆像は $x = y + \frac{1}{3}$ 。
- $y \in J_{1}$ なら $x \in J_{2}$ で寄与 $ρ_{2}$
- $y \in J_{2}$ なら $x \in J_{3}$ で寄与 $ρ_{3}$
- $y \in J_{3}$ なら逆像はない

したがって
$ρ_{1} = \frac{ρ _{1}}{3} + ρ_{2} (1), ρ_{2} = \frac{ρ _{1}}{3} + ρ_{3} (2), ρ_{3} = \frac{ρ _{1}}{3} (3) .$

手順 3: 連立方程式を解く。
$(3)$ を $(2)$ に代入して $ρ_{2} = \frac{2}{3} ρ_{1}$ 。これは $(1)$ の $ρ_{1} - \frac{ρ _{1}}{3} = \frac{2}{3} ρ_{1}$ とも一致する。

手順 4: 確率測度であることから定数を決める。
各区間の長さは $\frac{1}{3}$ なので
$\int_{0}^{1} ρ (x) d x = \frac{1}{3} (ρ_{1} + \frac{2}{3} ρ_{1} + \frac{1}{3} ρ_{1}) = \frac{2}{3} ρ_{1} = 1$
より $ρ_{1} = \frac{3}{2}$ 、 $ρ_{2} = 1$ 、 $ρ_{3} = \frac{1}{2}$ 。

確認: 例えば $A = J_{3}$ のとき $f^{- 1} J_{3} = [\frac{2}{9}, \frac{1}{3})$ なので $μ (f^{- 1} J_{3}) = \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{6}$ 、一方 $μ (J_{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$ で一致する。

したがって $(ρ_{1}, ρ_{2}, ρ_{3}) = (\frac{3}{2}, 1, \frac{1}{2})$ である。

別解

不変測度の密度 $ρ$ は Perron-Frobenius 作用素の固有方程式 $ρ (y) = \sum_{f (x) = y} \frac{ρ ( x )}{∣ f ^{'} ( x ) ∣}$ をみたす。

$y \in [0, 1)$ の逆像は次の通り。
- 第 1 枝: $x = y /3 \in [0, \frac{1}{3})$ 、傾き $3$ (すべての $y$ で存在)
- 第 2 枝: $x = y + \frac{1}{3} \in [\frac{1}{3}, 1)$ 、傾き $1$ ( $y < \frac{2}{3}$ のときだけ存在)

各区間で場合分けする。

$y \in J_{1}$ : $y /3 \in [0, \frac{1}{9}) \subset J_{1}$ 、 $y + \frac{1}{3} \in J_{2}$ なので $ρ_{1} = \frac{ρ _{1}}{3} + ρ_{2}$ 。
$y \in J_{2}$ : $y /3 \in [\frac{1}{9}, \frac{2}{9}) \subset J_{1}$ 、 $y + \frac{1}{3} \in J_{3}$ なので $ρ_{2} = \frac{ρ _{1}}{3} + ρ_{3}$ 。
$y \in J_{3}$ : $y /3 \in [\frac{2}{9}, \frac{1}{3}) \subset J_{1}$ 、第 2 枝はなく、 $ρ_{3} = \frac{ρ _{1}}{3}$ 。

第 3 式を第 2 式に代入して $ρ_{2} = \frac{2 ρ _{1}}{3}$ 。このとき第 1 式は $ρ_{1} = \frac{ρ _{1}}{3} + \frac{2 ρ _{1}}{3}$ で恒等的に成り立つ。

確率測度なので $\int_{0}^{1} ρ d x = \frac{1}{3} (ρ_{1} + ρ_{2} + ρ_{3}) = 1$ 。 $ρ_{1} + \frac{2}{3} ρ_{1} + \frac{1}{3} ρ_{1} = 2 ρ_{1} = 3$ より $ρ_{1} = \frac{3}{2}$ 、 $ρ_{2} = 1$ 、 $ρ_{3} = \frac{1}{2}$ 。

検算: 3 つの式に代入すると $\frac{3}{2} = \frac{1}{2} + 1$ 、 $1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$ 、 $\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ で成り立つ。全質量は $\frac{1}{3} (\frac{3}{2} + 1 + \frac{1}{2}) = 1$ 。

答えは $(\frac{3}{2}, 1, \frac{1}{2})$ 。

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