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力学系・エルゴード理論の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学力学系・エルゴード理論

実数 $ω$ をパラメータとし、 $F_{ω} : R \to R$ を
$F_{ω} (x) = x + ω + \frac{1}{4 π} sin (2 π x)$
で定める（ $sin$ の引数は弧度法）。 $F_{ω}$ は狭義単調増加で $F_{ω} (x + 1) = F_{ω} (x) + 1$ を満たすので、円周 $S^{1} = R / Z$ の向きを保つ同相写像の持ち上げである。 $F_{ω}$ の回転数を
$ρ (F_{ω}) = n \to \infty lim \frac{F _{ω}^{n} ( x ) - x}{n}$
で定める（ $F_{ω}^{n}$ は $F_{ω}$ の $n$ 回合成。この極限は存在して $x \in R$ によらない。また $mod 1$ はとらない）。

$- \frac{1}{2} \leq ω \leq \frac{1}{2}$ の範囲で、 $ρ (F_{ω}) = 0$ となる $ω$ の値の範囲を求めよ。

この問題で使うもの

円周同相写像の回転数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（51 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

回転数が $0$ になることと、持ち上げ $F_{ω}$ が不動点をもつことの関係を考えましょう。

ヒント 2

$g (x) = F_{ω} (x) - x$ は周期 $1$ の関数です。 $g$ が $0$ になる点があれば回転数は $0$ 、 $g$ が常に正の定数 $c$ 以上なら $F_{ω}^{n} (x) - x \geq n c$ となり回転数は $c$ 以上になります。

ヒント 3

$g (x) = ω + \frac{1}{4 π} sin (2 π x)$ の値域は $[ω - \frac{1}{4 π}, ω + \frac{1}{4 π}]$ です。これが $0$ を含む条件を考えましょう。

答えと解説

答えを見る

[- \frac{1}{4 π}, \frac{1}{4 π}]

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解説を読む

$g (x) = F_{ω} (x) - x = ω + \frac{1}{4 π} sin (2 π x)$ とおく。 $g$ は周期 $1$ の連続関数で、 $sin (2 π x)$ は $[- 1, 1]$ のすべての値をとるから、 $g$ の値域は $[ω - \frac{1}{4 π}, ω + \frac{1}{4 π}]$ である。（なお $F_{ω}^{'} (x) = 1 + \frac{1}{2} cos (2 π x) \geq \frac{1}{2} > 0$ なので $F_{ω}$ は狭義単調増加である。）

1. 不動点がある場合. $∣ ω ∣ \leq \frac{1}{4 π}$ ならば、 $g$ の値域は $0$ を含むので $g (x_{0}) = 0$ となる $x_{0}$ が存在し、 $F_{ω} (x_{0}) = x_{0}$ である。このとき $F_{ω}^{n} (x_{0}) = x_{0}$ だから
$ρ (F_{ω}) = n \to \infty lim \frac{x _{0} - x _{0}}{n} = 0.$
例えば $ω = 0$ なら $F_{0} (0) = 0$ で、確かに $ρ (F_{0}) = 0$ である。

2. 不動点がない場合. $ω > \frac{1}{4 π}$ ならば、すべての $x$ で $g (x) \geq c := ω - \frac{1}{4 π} > 0$ 。すると
$F_{ω}^{n} (x) - x = k = 0 \sum n - 1 (F_{ω}^{k + 1} (x) - F_{ω}^{k} (x)) = k = 0 \sum n - 1 g (F_{ω}^{k} (x)) \geq n c$
より $ρ (F_{ω}) \geq c > 0$ 。同様に $ω < - \frac{1}{4 π}$ ならば、すべての $x$ で $g (x) \leq ω + \frac{1}{4 π} < 0$ となり、 $ρ (F_{ω}) \leq ω + \frac{1}{4 π} < 0$ 。

3. 結論. $\frac{1}{4 π} \approx 0.0796 < \frac{1}{2}$ なので、区間 $[- \frac{1}{4 π}, \frac{1}{4 π}]$ は $[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ に含まれる。よって $- \frac{1}{2} \leq ω \leq \frac{1}{2}$ の範囲で $ρ (F_{ω}) = 0$ となるのは
$- \frac{1}{4 π} \leq ω \leq \frac{1}{4 π}$
のときである（これは回転数 $0$ のアーノルドの舌の一つの断面である）。

別解

$ρ (F_{ω}) = 0$ となる必要十分条件は $F_{ω}$ が不動点をもつことである。

(十分性) $F_{ω} (x_{0}) = x_{0}$ なら $F^{n} (x_{0}) = x_{0}$ なので $ρ = 0$ 。

(必要性) 不動点がなければ、連続性と $F (x + 1) = F (x) + 1$ より、すべての $x$ で $F (x) - x > 0$ （または常に $< 0$ ）。 $F (x) - x$ は周期 1 の連続関数なので最小値 $δ > 0$ をもち、 $F^{n} (x) - x \geq n δ$ となって $ρ \geq δ > 0$ 。負の場合も同様に $ρ < 0$ 。よって $ρ = 0 ⟺$ 不動点が存在。

不動点の条件: $ω + \frac{1}{4 π} sin (2 π x) = 0$ すなわち $sin (2 π x) = - 4 π ω$ 。これが実数解をもつ $⟺ ∣4 π ω ∣ \leq 1 ⟺ ∣ ω ∣ \leq \frac{1}{4 π}$ 。

$\frac{1}{4 π} \approx 0.0796 < \frac{1}{2}$ なので範囲 $[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ に含まれる。

検算: $ω = \frac{1}{4 π}$ のとき $x = - \frac{1}{4}$ で $F (x) = - \frac{1}{4} + \frac{1}{4 π} + \frac{1}{4 π} sin (- \frac{π}{2}) = - \frac{1}{4}$ となり不動点。 $ω$ がわずかに大きいと不動点がなく $ρ > 0$ 。

答え: $- \frac{1}{4 π} \leq ω \leq \frac{1}{4 π}$ 。

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