力学系・エルゴード理論の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院数学力学系・エルゴード理論

2 次元トーラス $T^{2} = R^{2} / Z^{2}$ 上の平行移動 $R : T^{2} \to T^{2}$ を
$R (x, y) = (x + 2, y + 22) mod 1$
で定め、 $T^{2}$ 上の連続関数 $φ$ を
$φ (x, y) = cos (2 π (y - 2 x)) + cos (4 π x) cos (2 π y)$
で定める。点 $p = (0, \frac{1}{3})$ に対し、時間平均
$N \to \infty lim \frac{1}{N} n = 0 \sum N - 1 φ (R^{n} p)$
を求めよ。

この問題で使うもの

バーコフのエルゴード定理と時間平均（説明と入口の問題）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（68 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$R^{n} p$ の座標を書き、軌道上で $y - 2 x$ が一定であることに注目しましょう。軌道は $T^{2}$ の中のある閉曲線にとどまります。

ヒント 2

軌道を $t_{n} = n 2$ でパラメータ表示し、 $φ (R^{n} p) = g (t_{n})$ と 1 変数関数に直します。無理数回転 $t \mapsto t + 2$ についてはワイルの一様分布定理が使えます。

ヒント 3

$g (t) = cos \frac{2 π}{3} + cos (4 π t) cos (\frac{2 π}{3} + 4 π t)$ です。積和の公式で定数項と振動項に分けましょう。

答えと解説

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- \frac{3}{4}

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解説を読む

1. 軌道の形. $α = 2$ とおくと
$R^{n} p = (n α, \frac{1}{3} + 2 n α) mod 1.$
$t_{n} = n α$ とすれば、軌道は $T^{2}$ 全体ではなく閉曲線 $C = {(t, \frac{1}{3} + 2 t) mod 1 t \in R}$ の上にある（ $y - 2 x \equiv \frac{1}{3} (mod 1)$ が保存される）。したがって $R$ は一意エルゴード的ではなく、時間平均はルベーグ測度による空間平均 $\int_{T^{2}} φ = 0$ とは一致しないことに注意する。

2. 曲線上への制限. $φ$ は $x, y$ について周期 $1$ をもつので、 $φ (R^{n} p) = g (t_{n})$ 、ただし
$g (t) = φ (t, \frac{1}{3} + 2 t) = cos \frac{2 π}{3} + cos (4 π t) cos (\frac{2 π}{3} + 4 π t) .$
積和の公式 $cos A cos B = \frac{1}{2} {cos (A - B) + cos (A + B)}$ より
$g (t) = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} {cos (- \frac{2 π}{3}) + cos (8 π t + \frac{2 π}{3})} = - \frac{3}{4} + \frac{1}{2} cos (8 π t + \frac{2 π}{3}) .$

3. ワイルの一様分布定理. $α = 2$ は無理数なので、円周の回転 $t \mapsto t + α$ は一意エルゴード的で（不変確率測度はルベーグ測度のみ）、任意の連続関数 $h$ について $\frac{1}{N} \sum_{n < N} h (n α) \to \int_{0}^{1} h (t) d t$ となる。とくに
$\frac{1}{N} n = 0 \sum N - 1 cos (8 π n α + \frac{2 π}{3}) \to \int_{0}^{1} cos (8 π t + \frac{2 π}{3}) d t = 0.$
（直接には、 $e^{8 π i α} \neq = 1$ なので等比数列の和が有界であることからも分かる。）

4. 結論. 時間平均は曲線 $C$ 上の一様な不変測度に関する空間平均 $\int_{0}^{1} g (t) d t$ に等しく、
$N \to \infty lim \frac{1}{N} n = 0 \sum N - 1 φ (R^{n} p) = - \frac{3}{4} .$

別解

$R$ は恒等写像でも既約な回転でもない。 $u (x, y) = y - 2 x mod 1$ は $R$ で不変である（ $(y + 22) - 2 (x + 2) = y - 2 x$ ）。したがって軌道は $p = (0, \frac{1}{3})$ を通る閉部分群（円） $C = {(x, y) : y \equiv 2 x + \frac{1}{3} (mod 1)}$ の上にある（ $u (p) = \frac{1}{3}$ ）。\n\n $C$ を $x \in R / Z$ でパラメータ付けすると（ $x \mapsto (x, 2 x + \frac{1}{3})$ は $R / Z$ から $C$ への同型）、 $R$ は $x \mapsto x + 2$ という無理数回転に対応する。無理数回転は一意エルゴード的なので、連続関数 $φ$ の時間平均は（ワイルの一様分布定理により）すべての初期点に対して $C$ 上の平均\n $\int_{0}^{1} φ (x, 2 x + \frac{1}{3}) d x$ \nに収束する。\n\n第 1 項: $cos (2 π (y - 2 x)) = cos \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2}$ （ $C$ 上で定数）。\n第 2 項: $cos (4 π x) cos (2 π (2 x + \frac{1}{3})) = cos (4 π x) cos (4 π x + \frac{2 π}{3}) = \frac{1}{2} [cos (8 π x + \frac{2 π}{3}) + cos \frac{2 π}{3}]$ 。 $[0, 1]$ での積分は $\frac{1}{2} [0 - \frac{1}{2}] = - \frac{1}{4}$ 。\n\n合計: $- \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = - \frac{3}{4}$ 。\n\n検算: 全トーラスでの平均（ $φ$ の定数項）は $0$ であり、これを答えにすると誤りになる。 $R$ がエルゴード的でないことが本問のポイントで、不変量 $y - 2 x$ の値が $\frac{1}{3}$ に固定されることで第 1 項が $cos \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2}$ になる。

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