力学系・エルゴード理論の問題

記号の集合を $\{0,1,2\}$ とし、$X=\{0,1,2{\}}^{\mathbb{Z}}$ 上のシフト写像 $T$, $(Tx{)}_i=x_{i+1}$ と、確率ベクトル $\left(p_0,p_1,p_2\right)=\left(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)$ によるベルヌーイ測度 $\mu$ を考える。集合 $A=\{x\in X:x_0=2\}$ への誘導写像（初回帰還写像）を $T_A$、$A$ 上の正規化された測度を ${\mu }_A=\frac{\mu (\cdot \cap A)}{\mu (A)}$ とするとき、測度論的エントロピー $h_{{\mu }_A}(T_A)$ を求めよ。ただし $\log$ は自然対数とする。

記号の集合を $\{0,1,2\}$ とし、両側無限列 $x=(x_i{)}_{i\in \mathbb{Z}}$ で、すべての $i\in \mathbb{Z}$ について $|x_{i+1}-x_i|\le 1$ をみたすもの全体を $X$ とする（つまり隣り合う記号として $02$ と $20$ だけが禁止されている）。$X$ 上のシフト写像 $\sigma :X\to X$, $(\sigma x{)}_i=x_{i+1}$ の位相エントロピー $h_{\mathrm{top}}(\sigma )$ を求めよ。ただし $\log$ は自然対数とする。

写像 $f:[0,1]\to [0,1]$, $f(x)=4x(1-x)$ を考える。点 $p=\frac{5+\sqrt{5}}{8}$ は $f$ の最小周期 $2$ の周期点である。$p$ におけるリャプノフ指数
$$\lambda (p)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\log \left|(f^n{)}^{\prime }(p)\right|$$
を求めよ。ただし $\log$ は自然対数とする。

${\mathbb{T}}^2={\mathbb{R}}^2/{\mathbb{Z}}^2$ とし、整数行列
$$A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 1\end{array}\right)$$
が定めるトーラス自己同型 $f_A:{\mathbb{T}}^2\to {\mathbb{T}}^2$, $f_A(x)=Ax\mathrm{mod}{\mathbb{Z}}^2$ を考える。$f_A^2$ の不動点の個数 $|\mathrm{Fix}(f_A^2)|$ を求めよ。

${\mathbb{N}}_0=\{0,1,2,\dots \}$ とし、$X=\{0,1{\}}^{{\mathbb{N}}_0}$ 上の片側シフト $\sigma :X\to X$ を $(\sigma x{)}_n=x_{n+1}$ で定める。$X$ には積位相とボレル集合族を入れる。シリンダー集合を
$$[11]=\{x\in X:x_0=1,x_1=1\}$$
とする。$\sigma$ 不変なボレル確率測度 $\mu$ のうち $\mu ([11])=\frac{2}{3}$ を満たすもの全体を $\mathcal{M}$ とするとき、
$$\underset{\mu \in \mathcal{M}}{\sup }{h}_{\mu }(\sigma )$$
の値を求めよ。ただし $h_{\mu }(\sigma )$ は $\mu$ に関する $\sigma$ の測度論的エントロピー（コルモゴロフ–シナイのエントロピー）であり、対数は自然対数とする。