力学系・エルゴード理論の問題

記号の集合 $\{0,1,2\}$ 上の片側シフト $\sigma :\{0,1,2{\}}^{\mathbb{N}}\to \{0,1,2{\}}^{\mathbb{N}}$, $(\sigma x{)}_n=x_{n+1}$ を考える。各座標が独立に、確率 $p_0=\frac{1}{2}$, $p_1=\frac{1}{4}$, $p_2=\frac{1}{4}$ で記号 $0,1,2$ をとるベルヌーイ測度を $\mu$ とする。$\sigma$ の $\mu$ に関する測度論的エントロピー $h_{\mu }(\sigma )$ を求めよ。ただし $\log$ は自然対数とする。

記号の集合を $\{0,1,2\}$ とし、両側無限列 $x=(x_i{)}_{i\in \mathbb{Z}}$ で、すべての $i\in \mathbb{Z}$ について $|x_{i+1}-x_i|\le 1$ をみたすもの全体を $X$ とする（つまり隣り合う記号として $02$ と $20$ だけが禁止されている）。$X$ 上のシフト写像 $\sigma :X\to X$, $(\sigma x{)}_i=x_{i+1}$ の位相エントロピー $h_{\mathrm{top}}(\sigma )$ を求めよ。ただし $\log$ は自然対数とする。

写像 $f:[0,1]\to [0,1]$, $f(x)=4x(1-x)$ を考える。点 $p=\frac{5+\sqrt{5}}{8}$ は $f$ の最小周期 $2$ の周期点である。$p$ におけるリャプノフ指数
$$\lambda (p)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\log \left|(f^n{)}^{\prime }(p)\right|$$
を求めよ。ただし $\log$ は自然対数とする。

${\mathbb{N}}_0=\{0,1,2,\dots \}$ とし、$X=\{0,1,2{\}}^{{\mathbb{N}}_0}$ 上の片側シフト $\sigma :X\to X$ を $(\sigma x{)}_n=x_{n+1}$ で定める。$X$ 上に確率ベクトル $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{6}\right)$ によるベルヌーイ測度 $\mu$ を考える。すなわち、座標 $x_0,x_1,x_2,\dots$ は互いに独立で、各 $n$ について
$$\mu (x_n=0)=\frac{1}{2},\mu (x_n=1)=\frac{1}{3},\mu (x_n=2)=\frac{1}{6}$$
である。

集合 $A=\{x\in X:x_0=2\}$ を考え、$x\in A$ に対して初回帰還時刻を
$$n_A(x)=\min \{n\ge 1:x_n=2\}$$
で定める（$\mu$ に関してほとんどすべての $x\in A$ で $n_A(x)<\infty$ である）。誘導写像 $T_A:A\to A$ を $T_A(x)={\sigma }^{n_A(x)}(x)$、$A$ 上の確率測度を ${\mu }_A(B)=\frac{\mu (B)}{\mu (A)}$（$B\subset A$ は可測集合）で定めると、${\mu }_A$ は $T_A$ 不変である。

$T_A$ の ${\mu }_A$ に関する測度論的エントロピー $h_{{\mu }_A}(T_A)$ を求めよ。ただし、エントロピーは自然対数を用いて定義する。

$\Sigma =\{0,1,2{\}}^{\mathbb{Z}}$ 上の両側シフト $\sigma :\Sigma \to \Sigma$ を $(\sigma x{)}_n=x_{n+1}$ で定める。確率行列
$$P=\left(\begin{array}{ccc}0& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{3}& \frac{1}{3}& \frac{1}{3}\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$$
（行と列は記号 $0,1,2$ の順に対応し、$(i,j)$ 成分 $p_{ij}$ を $i$ から $j$ への遷移確率とする）と、$\pi P=\pi$ を満たす確率ベクトル $\pi =({\pi }_0,{\pi }_1,{\pi }_2)$ に対し、シリンダー集合上で
$$\mu (\{x\in \Sigma :x_k=a_0,x_{k+1}=a_1,\dots ,x_{k+n}=a_n\})={\pi }_{a_0}{p}_{a_0{a}_1}\cdots p_{a_{n-1}{a}_n}$$
（$k\in \mathbb{Z}$, $n\ge 0$）を満たす $\sigma$ 不変ボレル確率測度 $\mu$（マルコフ測度）を考える。$P$ は既約かつ非周期的なので、このような $\pi$ はただ 1 つに定まる。

$\mu$ に関する $\sigma$ の測度論的エントロピー $h_{\mu }(\sigma )$ を求めよ。