力学系・エルゴード理論の問題

手順 1: 遷移行列を書く。 記号 $0,1,2$ の順に、記号 $a$ の次に記号 $b$ を置いてよいとき $A_{ab}=1$、禁止なら $A_{ab}=0$ とする。禁止されているのは $02$ と $20$ だけなので
$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 1& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$$
である。$X$ はこの $A$ の有限型シフトである。

手順 2: 語の数と固有値の関係。 許される長さ $n$ の語の数は $A^{n-1}$ の全成分の和に等しく、また周期点の個数は $|\mathrm{Fix}({\sigma }^n)|=\mathrm{tr}{A}^n$ である。$A$ の成分はすべて $0$ 以上で、$A^2$ の成分はすべて正（例えば $0\to 1\to 2$ と進める）なので $A$ は原始的であり、ペロン・フロベニウスの定理からどちらの数も ${\lambda }_{\max }^n$ の定数倍の速さで増える。したがって
$$h_{\mathrm{top}}(\sigma )=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\log (\text{長さ }n\text{ の語の数})=\log {\lambda }_{\max }$$
である。

手順 3: 固有値を求める。 特性多項式は、第 1 行で余因子展開して
$$\det (A-\lambda E)=(1-\lambda )\{(1-\lambda {)}^2-1\}-1\cdot \{(1-\lambda )-0\}=(1-\lambda )\{(1-\lambda {)}^2-2\}.$$
よって固有値は $\lambda =1,1+\sqrt{2},1-\sqrt{2}$ で、最大のものは ${\lambda }_{\max }=1+\sqrt{2}$ である。

（確認: $\mathrm{tr}A=3$ は長さ 1 の語の数と一致し、$\mathrm{tr}{A}^2=1+(1+\sqrt{2}{)}^2+(1-\sqrt{2}{)}^2=1+6=7$ は $9-2=7$ 個の許される 2 文字の語（周期 2 の点）の数と一致する。）

手順 4: 結論。
$$h_{\mathrm{top}}(\sigma )=\log (1+\sqrt{2}).$$

$X$ は遷移行列 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 1& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$（$A_{ab}=1⟺|a-b|\le 1$）で定まる頂点シフト（単純な 1 段のマルコフ連鎖）であり、禁止語は $02,20$ のみ。位相エントロピーは $A$ のスペクトル半径の対数に等しい。

特性多項式: $\det (tI-A)=(t-1)\{(t-1{)}^2-1\}-(-1)\cdot \{-(t-1)\}\cdot$ ... を計算すると、第 1 行で展開して $(t-1)((t-1{)}^2-1)-(t-1)=(t-1)((t-1{)}^2-2)$。よって固有値は $1,1+\sqrt{2},1-\sqrt{2}$。

スペクトル半径は $1+\sqrt{2}$。$A$ は既約（0→1→2→1→0 で全状態が行き来できる）かつ非周期的（対角成分が 1）なので、$h_{\mathrm{top}}(\sigma )=\log (1+\sqrt{2})$。

検算: 長さ $n$ の許容語の個数は $1^T{A}^{n-1}1$。$n=1,2,3$ で $3,7,17$ であり、比 $17/7\approx 2.43\approx 1+\sqrt{2}\approx 2.414$ に近づく（漸化式 $a_{n+1}=2a_n+a_{n-1}$: $17=2\cdot 7+3$ も成立）。