微分トポロジー・特性類の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学微分トポロジー・特性類

2 次元球面を $S^{2} = C \cup {\infty}$ （リーマン球面）とみなし、 $C$ 上では座標 $z = x + i y$ 、 $\infty$ の近くでは座標 $w = 1/ z$ （ $w (\infty) = 0$ ）を用いる。 $C$ 上の点 $z$ における接ベクトル $a \frac{\partial}{\partial x} + b \frac{\partial}{\partial y}$ を複素数 $a + bi$ と同一視して、 $C$ 上のベクトル場 $V$ を
$V (z) = \frac{z ˉ ^{2} ( z - 1 ) ^{3}}{( 1 + ∣ z ∣ ^{2} ) ^{3}} (z \in C)$
で定める。 $V$ は $S^{2}$ 上の $C^{\infty}$ 級ベクトル場に一意に拡張され、拡張したベクトル場（同じ記号 $V$ で表す）は $\infty$ で $0$ になる（これは確かめずに用いてよい）。

$V$ の零点は $0, 1, \infty$ の 3 点である。それぞれの零点における $V$ の指数を $ind_{0} V, ind_{1} V, ind_{\infty} V$ とするとき、組 $(ind_{0} V, ind_{1} V, ind_{\infty} V)$ をこの順に求めよ。

この問題で使うもの

ベクトル場の零点の指数（説明と入口の問題）
ポアンカレ・ホップの定理（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（86 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

零点の指数は、その点のまわりの小さな円周上でベクトル場の向きが何回まわるか（写像度）で求まる。正の関数や零点の近くで 0 にならない因子は指数に影響しない。

ヒント 2

$z^{m}$ の指数は $m$ 、 $z ˉ^{m}$ の指数は $- m$ 。 $\infty$ での指数はポアンカレ・ホップの定理 $\sum ind = χ (S^{2})$ を使うと求まる。

ヒント 3

$z = 0$ では $z ˉ^{2}$ が、 $z = 1$ では $(z - 1)^{3}$ が効く。 $χ (S^{2}) = 2$ である。

答えと解説

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(- 2, 3, 1)

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解説を読む

孤立零点 $p$ における指数は、 $p$ のまわりの座標で $V$ を $R^{2} ∖ {0}$ 値の写像とみなしたとき、 $p$ を中心とする小さな円周上で $V /∣ V ∣ : S^{1} \to S^{1}$ の写像度である。正の実数値関数を掛けても零点も写像度も変わらないので、分母 $(1 + ∣ z ∣^{2})^{3}$ は無視してよい。また、零点の近くで 0 にならない連続関数 $g$ を掛けるとき、円周を十分小さくとれば $g$ はほぼ定数 $g (p) \neq = 0$ で、定数倍（回転と正の拡大）は写像度を変えない。

$z = 0$ での指数. $z = 0$ の近くで $(z - 1)^{3} \approx - 1 \neq = 0$ だから、指数は $z \mapsto z ˉ^{2}$ の指数に等しい。 $z = r e^{i θ}$ とおくと $z ˉ^{2} = r^{2} e^{- 2 i θ}$ で、 $θ$ が $0$ から $2 π$ まで動くとき偏角は $- 4 π$ 変化する。よって $ind_{0} V = - 2$ 。

$z = 1$ での指数. $z = 1$ の近くで $z ˉ^{2} \approx 1 \neq = 0$ だから、指数は $z \mapsto (z - 1)^{3}$ の指数に等しい。 $z - 1 = r e^{i θ}$ とおくと $(z - 1)^{3} = r^{3} e^{3 i θ}$ なので $ind_{1} V = 3$ 。

$\infty$ での指数（ポアンカレ・ホップの定理）. $S^{2}$ はコンパクトで $V$ の零点は孤立しているので、ポアンカレ・ホップの定理より指数の和はオイラー標数 $χ (S^{2}) = 2$ に等しい:
$ind_{0} V + ind_{1} V + ind_{\infty} V = 2.$
よって $ind_{\infty} V = 2 - (- 2) - 3 = 1$ 。

（直接の検算: 積分曲線 $z ˙ = V (z)$ について $w = 1/ z$ とおくと $w ˙ = - z ˙ / z^{2} = - w^{2} V (1/ w)$ 。
$V (1/ w) = \frac{w ˉ ^{- 2} ( 1/ w - 1 ) ^{3}}{( 1 + ∣ w ∣ ^{- 2} ) ^{3}} = \frac{( 1 - w ) ^{3} w ^{3} w ˉ ^{3}}{w ˉ ^{2} w ^{3} ( 1 + ∣ w ∣ ^{2} ) ^{3}} = \frac{( 1 - w ) ^{3} w ˉ}{( 1 + ∣ w ∣ ^{2} ) ^{3}}$
より、座標 $w$ では
$V = - \frac{( 1 - w ) ^{3} ∣ w ∣ ^{2} w}{( 1 + ∣ w ∣ ^{2} ) ^{3}}$
となり、確かに $w = 0$ まで $C^{\infty}$ 級に延びて $0$ になる。 $w = 0$ の近くで $- (1 - w)^{3} / (1 + ∣ w ∣^{2})^{3} \approx - 1$ 、 $∣ w ∣^{2} > 0$ なので指数は $w \mapsto w$ の指数 $1$ に等しく、上の結果と一致する。）

よって答えは $(- 2, 3, 1)$ 。

別解

零点での指数は、その点のまわりを反時計回りに 1 周したときの $V$ の偏角の回転数である。

$z = 0$ の近く: $V (z) = z ˉ^{2} \cdot \frac{( z - 1 ) ^{3}}{( 1 + ∣ z ∣ ^{2} ) ^{3}}$ 。第 2 因子は $z = 0$ で $- 1$ に近い零でない連続関数なので、回転数は $z ˉ^{2}$ のもので $- 2$ 。 $ind_{0} V = - 2$ 。

$z = 1$ の近く: $V (z) = (z - 1)^{3} \cdot \frac{z ˉ ^{2}}{( 1 + ∣ z ∣ ^{2} ) ^{3}}$ 。第 2 因子は $z = 1$ で $\frac{1}{8}$ に近い零でない連続関数。回転数は $3$ 。 $ind_{1} V = 3$ 。

$z = \infty$ : Poincaré–Hopf の定理より指数の総和は $χ (S^{2}) = 2$ 。よって $ind_{\infty} V = 2 - (- 2 + 3) = 1$ 。

直接の検算: $∣ z ∣$ が大きいとき $V \approx \frac{z ˉ ^{2} z ^{3}}{∣ z ∣ ^{6}} = \frac{z ˉ ^{2} z ^{3}}{z ^{3} z ˉ ^{3}} = \frac{1}{z ˉ} = w ˉ$ 。座標 $w = 1/ z$ では $w ˙ = - z ˙ / z^{2} = - w^{2} V \approx - w^{2} w ˉ$ 。これは $w^{2} w ˉ$ （の $- 1$ 倍）の形で、回転数は $2 - 1 = 1$ 。符号 $- 1$ は定数倍で回転数を変えない（ $- 1$ 倍は偏角を $π$ ずらすだけ）。したがって $ind_{\infty} V = 1$ で一致。

答え: $(- 2, 3, 1)$

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