微分トポロジー・特性類の問題

2 次元球面を $S^2=\mathbb{C}\cup \{\infty \}$（リーマン球面）とみなし、$\mathbb{C}$ 上では座標 $z=x+iy$、$\infty$ の近くでは座標 $w=1/z$（$w(\infty )=0$）を用いる。$\mathbb{C}$ 上の点 $z$ における接ベクトル $a\frac{\partial }{\partial x}+b\frac{\partial }{\partial y}$ を複素数 $a+bi$ と同一視して、$\mathbb{C}$ 上のベクトル場 $V$ を
$$V(z)=\frac{{\bar{z}}^2(z-1{)}^3}{(1+|z{|}^2{)}^3}(z\in \mathbb{C})$$
で定める。$V$ は $S^2$ 上の $C^{\infty }$ 級ベクトル場に一意に拡張され、拡張したベクトル場（同じ記号 $V$ で表す）は $\infty$ で $0$ になる（これは確かめずに用いてよい）。

$V$ の零点は $0,1,\infty$ の 3 点である。それぞれの零点における $V$ の指数を ${\mathrm{ind}}_{0}V,{\mathrm{ind}}_{1}V,{\mathrm{ind}}_{\infty }V$ とするとき、組 $({\mathrm{ind}}_{0}V,{\mathrm{ind}}_{1}V,{\mathrm{ind}}_{\infty }V)$ をこの順に求めよ。

$H\subset {\mathbb{R}}^3$ を、${\mathbb{R}}^3$ 内に滑らかに埋め込まれた 8 の字形のグラフ（2 つの円周を 1 点で貼り合わせたもの）$\Gamma$ の閉管状近傍として得られる、境界付きのコンパクトな 3 次元 $C^{\infty }$ 級部分多様体とする（境界 $\partial H$ は種数 $2$ の閉曲面で、$H$ は $\Gamma$ にホモトピー同値である）。

$V$ を $H$ 上の $C^{\infty }$ 級ベクトル場で、$\partial H$ の各点で $H$ の内側を向いている（$\partial H$ に接せず、内向き）ものとする。$V$ の零点は $H$ の内部にちょうど 2 個 $p,q$ だけあり、$p$ は非退化で、$V$ の $p$ における微分（線形化）$d{V}_p:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3$ の固有値は $1,2,-3$ である。

このとき、零点 $q$ における $V$ の指数 ${\mathrm{ind}}_q(V)$ を求めよ。

4 次元複素射影空間 ${\mathbb{CP}}^4$（実 8 次元の閉多様体で、複素構造から定まる向きを入れる）の斉次座標を $[z_0:z_1:z_2:z_3:z_4]$ とする。複素 $5\times 5$ 行列
$$A=\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$
を考え、${\mathbb{CP}}^4$ 上の $C^{\infty }$ 級（実）ベクトル場 $V$ を
$$V([z])={\frac{d}{dt}|}_{t=0}\left[e^{tA}z\right](z\in {\mathbb{C}}^5\setminus \{0\})$$
で定める。$V$ の零点はすべて孤立していることが知られている。点 $p=[0:0:0:1:0]$ における $V$ の指数 ${\mathrm{ind}}_{p}V$ を求めよ。

$\Sigma$ を種数 $3$ の向き付け可能な閉曲面（$C^{\infty }$ 級）とし、$V$ を $\Sigma$ 上の $C^{\infty }$ 級ベクトル場で、零点がちょうど 3 個 $p_1,p_2,p_3$ であるものとする。$p_1,p_2$ のまわりには、それぞれの零点を原点 $(0,0)$ に写す局所座標 $(x,y)$ があり、その座標で $V$ は
$$p_1:V=(x^3-3x{y}^2)\frac{\partial }{\partial x}+(y^3-3x^{2}y)\frac{\partial }{\partial y},p_2:V=x\frac{\partial }{\partial x}+y\frac{\partial }{\partial y}$$
と表されている。零点 $p_3$ における $V$ の指数 ${\mathrm{ind}}_{p_3}(V)$ を求めよ。

$\Sigma$ を種数 $6$ の向き付け可能な連結閉曲面（$C^{\infty }$ 級）とし、$\Sigma$ に 1 つリーマン計量を固定する。$f:\Sigma \to \mathbb{R}$ を $C^{\infty }$ 級関数とし、$f$ の臨界点は有限個で、次の (1)〜(4) のどれかにあてはまるものとする。

$(1)$ 非退化な極大点と非退化な極小点。$f$ はこれらをちょうど 1 個ずつもつ。

$(2)$ 点 $p$ のまわりのある局所座標 $(x,y)$（$p$ が原点）で $f=f(p)+x^4-6x^2{y}^2+y^4$ と表される臨界点 $p$。$f$ はこれをちょうど $2$ 個もつ。

$(3)$ 点 $p$ のまわりのある局所座標 $(x,y)$（$p$ が原点）で $f=f(p)+x^3+y^2$ と表される臨界点 $p$。$f$ はこれをちょうど $3$ 個もつ。

$(4)$ 点 $p$ のまわりのある局所座標 $(x,y)$（$p$ が原点）で $f=f(p)+x^3-3x{y}^2$ と表される臨界点 $p$。

$f$ の臨界点の総数を求めよ。