微分トポロジー・特性類の問題

$\Sigma$ を種数 $3$ の向き付け可能な閉曲面（$C^{\infty }$ 級）とし、$V$ を $\Sigma$ 上の $C^{\infty }$ 級ベクトル場で、零点がちょうど 3 個 $p_1,p_2,p_3$ であるものとする。$p_1,p_2$ のまわりには、それぞれの零点を原点 $(0,0)$ に写す局所座標 $(x,y)$ があり、その座標で $V$ は
$$p_1:V=(x^3-3x{y}^2)\frac{\partial }{\partial x}+(y^3-3x^{2}y)\frac{\partial }{\partial y},p_2:V=x\frac{\partial }{\partial x}+y\frac{\partial }{\partial y}$$
と表されている。零点 $p_3$ における $V$ の指数 ${\mathrm{ind}}_{p_3}(V)$ を求めよ。

${\Sigma }_2$ を種数 $2$ の向き付け可能な連結閉曲面（$C^{\infty }$ 級）とし、相異なる $2$ 点 $p_1,p_2\in {\Sigma }_2$ を除いた開曲面を $S={\Sigma }_2\setminus \{p_1,p_2\}$ とする。${\mathbb{RP}}^2$ を実射影平面、$S^1$ を円周として、$5$ 次元多様体 $$M=S\times {\mathbb{RP}}^2\times S^1$$ を考える。$M$ の $2$ 次ド・ラーム・コホモロジー $H_{dR}^2(M)$ の実ベクトル空間としての次元と、コンパクト台をもつ微分形式による $2$ 次ド・ラーム・コホモロジー $H_c^2(M)$ の次元を、この順に組 $\left(\dim H_{dR}^2(M),\dim H_c^2(M)\right)$ として求めよ。

2 次元球面 $S^2$ をリーマン球面 $\mathbb{C}\cup \{\infty \}$ と同一視し、$\mathbb{C}$ 上の座標 $z=x+iy$ により各点の接空間 $T_z\mathbb{C}$ を $\mathbb{C}$ と同一視する。$V$ を $S^2$ 上の $C^{\infty }$ 級ベクトル場で、次の 2 条件を満たすものとする。

$(1)$ $|z|\le 2$ を満たすすべての $z\in \mathbb{C}$ で
$$V(z)=z^3{\overline{(z-1)}}^2(z+1)\overline{(z-i)}$$
が成り立つ（$\overline{w}$ は $w$ の複素共役）。

$(2)$ $V$ の零点は、$|z|\le 2$ の中にあるものを除くと $\infty$ のただ 1 点である。

零点 $\infty$ における $V$ の指数を求めよ。

$H\subset {\mathbb{R}}^3$ を、${\mathbb{R}}^3$ 内に滑らかに埋め込まれた 8 の字形のグラフ（2 つの円周を 1 点で貼り合わせたもの）$\Gamma$ の閉管状近傍として得られる、境界付きのコンパクトな 3 次元 $C^{\infty }$ 級部分多様体とする（境界 $\partial H$ は種数 $2$ の閉曲面で、$H$ は $\Gamma$ にホモトピー同値である）。

$V$ を $H$ 上の $C^{\infty }$ 級ベクトル場で、$\partial H$ の各点で $H$ の内側を向いている（$\partial H$ に接せず、内向き）ものとする。$V$ の零点は $H$ の内部にちょうど 2 個 $p,q$ だけあり、$p$ は非退化で、$V$ の $p$ における微分（線形化）$d{V}_p:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3$ の固有値は $1,2,-3$ である。

このとき、零点 $q$ における $V$ の指数 ${\mathrm{ind}}_q(V)$ を求めよ。

複素射影平面 ${\mathbb{CP}}^2$ に複素構造から定まる向きを入れ、$B\subset {\mathbb{CP}}^2$ を次数 $8$ の非特異な複素射影平面曲線とする。$\pi :X\to {\mathbb{CP}}^2$ を $B$ で分岐する 2 重分岐被覆とする。すなわち $X$ は連結な閉 4 次元 $C^{\infty }$ 級多様体（実は複素曲面）で、$\pi$ は ${\pi }^{-1}(B)$ の外では 2 対 1 の被覆写像、${\pi }^{-1}(B)\to B$ は微分同相であるとし、$X$ には $\pi$ を通じて ${\mathbb{CP}}^2$ から引き戻した向きを入れる。$X$ は単連結であることが知られている（これは証明せずに用いてよい）。

$X$ の交叉形式 $Q_X:H_2(X;\mathbb{Z})\times H_2(X;\mathbb{Z})\to \mathbb{Z}$ を $\mathbb{R}$ 上で対角化したときの正の固有値の個数を $b_2^{+}$、負の固有値の個数を $b_2^{-}$ とする。組 $(b_2^{+},b_2^{-})$ をこの順に求めよ。